高二数学第二章第2－3节椭圆与双曲线（理）人教实验B版选修2－1【本讲教育信息】一、教学内容：选修2－1椭圆与双曲线二、教学目标：1、掌握椭圆，双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求其方程，注重二者定义的区别，掌握其几何性质。2、能根据方程讨论双曲线的性质，掌握椭圆，双曲线的区别与联系三、知识要点分析：椭圆与双曲线的标准方程的对比名称椭圆双曲线图象xOyxOy定义平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆奎屯王新敞新疆即当2﹥2时，轨迹是椭圆，当2＝2时，轨迹是一条线段当2﹤2时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线奎屯王新敞新疆即当2﹤2时，轨迹是双曲线当2＝2时，轨迹是两条射线当2﹥2时，轨迹不存在标准方程焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时：焦点在轴上时：常数的关系，，最大，可以，最大，可以渐近线焦点在轴上时：焦点在轴上时：1【典型例题】例1、若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（）.A.B.C.D.分析：椭圆和双曲线有共同的焦点，∴既在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到和的关系式，再变形可得结果.解：因为在椭圆上，所以.又在双曲线上，所以.两式平方相减，得，故.选A.说明：（1）本题的方法是根据定义找与的关系.（2）注意方程的形式，、是，、是.例2、已知B、C是两个定点，，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.分析：由的周长等于16，可知，点A到B、C两点的距离的和是常数.因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，可适当建立直角坐标系求出方程.解：如图，建立直角坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.由已知，有即点A的轨迹是椭圆，且，.，，.但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是.点评：（1）求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件.（2）在求解时，如果题设条件中未给出坐标系时，要建立适当的坐标系，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为坐标原点，使其具有对称性，使曲线方程尽可能地简单。2例3、已知椭圆及直线y＝x＋m。（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。解：解方程组消去y，整理得（2）由韦达定理得∴弦长L＝＝，当m＝0时，L取得最大值为，此时直线方程为y＝x。点评：设椭圆与直线的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的斜率为k，则弦长或。例4、已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值。分析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.（Ⅰ）由题意，得2333acca，解得1,3ac，∴2222bca，∴所求双曲线C的方程为2212yx.（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy，线段AB的中点为00,Mxy，由得22220xmxm（判别式0），∴12000,22xxxmyxmm， 点00,Mxy在圆上，3∴2225mm，∴1m.例5、过点（1，0）的直线l与中心在原点、焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强。知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题。错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键。技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等...
