第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数的图象和性质1.将函数y＝sin(x＋φ)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F′，若F′的一个对称中心为，则φ＝________．答案：kπ－，k∈Z解析：图象F′对应的函数y′＝sin，其一个对称中心为，则＋＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.2.把函数y＝sin的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为________．答案：y＝sin解析：将原函数的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin[5(x－)－]＝sin的图象，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin的图象，即y＝sin.3.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω＝________．答案：1解析：函数y＝f(x)的图象的相邻两条对称轴的距离是π，所以＝π，即T＝2π，所以＝2π，解得ω＝1.4.将函数f(x)＝sinωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________．答案：2解析：函数向右平移得到函数g(x)＝f＝sinω，因为此时函数过点，所以sinω＝0，即ω·＝＝kπ，所以ω＝2k，k∈Z，所以ω的最小值为2.5.若函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值为－2，其图象上相邻最高点与最低点的横坐标之差为，且图象过点(0，)，则其解析式是________________．答案：y＝2sin解析：由题意，得A＝2，＝，所以T＝π，ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．由f(0)＝2sinφ＝，|φ|<，得φ＝，从而y＝2sin.6.若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．答案：解析：由于f(x)＝sinωx图象过原点，由已知条件画图象可知，为该函数的四分之一周期，所以＝，ω＝.7.函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的周期为π，且函数图象关于点对称，则函数解析式为____________．答案：y＝sin解析：T＝，∴ω＝2.又图象关于对称，∴sin＝0，φ－π＝kπ(k∈Z)，φ＝π＋kπ(0<φ<π)，∴k＝0，φ＝π.∴y＝sin.8.(2013·南通三模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)在R上的部分图象如图所示，则f(2013)＝________．答案：－解析：从图象可知，A＝5，周期T＝2(5＋1)＝12，ω＝，f(0)＞0，f(5)＝0，0≤φ＜2π，故φ＝，f(x)＝5sin，f(2013)＝f(9)＝5sin＝－5cos＝－.9.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与点P最近的一个顶点是Q.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间．解：(1)依题意得A＝5，周期T＝4＝π，∴ω＝＝2.故y＝5sin(2x＋φ)．又图象过点P，∴5sin＝0，由已知可得＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－，∴y＝5sin.(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．10.函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈，f＝2，求α的值．解：(1)由题意，A＋1＝3，所以A＝2.因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以最小正周期T＝π，所以ω＝2.故函数f(x)＝2sin＋1.(2)因为f＝2sin＋1＝2，所以sin＝.又0<α<，所以α－＝，即α＝.11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图象如下图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．解：(1)由图象知A＝2，T＝8.∵T＝＝8，∴ω＝.又图象经过点(－1，0)，∴2sin＝0.∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.(2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sin(x＋)＋2sin(x＋＋)＝2sin＋2cos＝2sin＝2cosx.∵x∈，∴－≤x≤－，∴当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取最大值为；当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取最小值为－2.
