第十章计数原理10.3二项式定理教师用书理苏教版1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(r∈{0,1,2，…，n})2.二项式系数的性质(1)C＝1，C＝1.C＝C＋C.(2)C＝C.(3)当n为偶数时，二项式系数中，以最大；当n为奇数时，二项式系数中以n和n(两者相等)最大．(4)C＋C＋…＋C＝2n.【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Can－rbr是二项展开式的第r项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)1(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(×)1．(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是________．答案(－1)m－1C解析(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1.2．(2016·四川改编)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为__________．答案－15x4解析由题意可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.3．(2016·徐州模拟)已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C＝________.答案63解析逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.4．(2016·苏州模拟)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________．答案168解析 (1＋x)8的通项为Cxr，(1＋y)4的通项为Cyt，∴(1＋x)8(1＋y)4的通项为CCxryt，令r＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168.2题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1(1)(2016·全国乙卷)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是______________．(用数字填写答案)(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．答案(1)10(2)30解析(1)(2x＋)5展开式的通项公式Tr＋1＝C(2x)5－r·()r＝C25－r，r∈{0,1,2,3,4,5}，令5－＝3，解得r＝4，得T5＝C25－4＝10x3，∴x3的系数是10.(2)方法一利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.方法二利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CC＝30.命题点2已知二项展开式某项的系数求参数例2(1)(2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.(2)(2016·山东)若5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.答案(1)3(2)－2解析(1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝33.(2) Tr＋1＝C(ax2)5－rr＝a5－rC，∴10－r＝5，解得r＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．(1)(2016·连云港模拟)(＋x)(1－)4的展开式中x的系数是________．(2)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)答案(1)3(2)解析(1)(1－)4展开式的通项公式Tr＋1＝C(－)r＝(－1)rC，(＋x)(1－)4的展开式中含x的项为·(－1)4Cx2＋x·(－1)0C＝·x2＋x·1＝3x，故系数是3.(2)设通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，∴r＝3，∴x7的系数为Ca3＝15，∴a3＝，∴a＝.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问...
