高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用练习 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

3.4基本不等式：≤第2课时基本不等式的应用A级基础巩固一、选择题1．若x＞0，则函数y＝－x－()A．有最大值－2B．有最小值－2C．有最大值2D．有最小值2解析：因为x＞0，所以x＋≥2.所以－x－≤－2.当且仅当x＝1时，等号成立，故函数y＝－x－有最大值－2.答案：A2．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}中的最大项是()A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项解析：an＝＝，因为n＋≥2，且n∈N*，所以当n＝9或10时，n＋最小，an取最大值．答案：D3．lg9·lg11与1的大小关系是()A．lg9·lg11＞1B．lg9·lg11＝1C．lg9·lg11＜1D．不能确定解析：lg9×lg11≤＝＜＝＝1.答案：C4．已知a，b∈R，且a＋b＝1，则ab＋的最小值为()A．2B.C.D．2答案：C5.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处解析：设仓库建在离车站xkm处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立．答案：A二、填空题6．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．解析：因为实数x，y满足xy＝1，所以x2＋2y2≥2＝2＝2，当且仅当x2＝2y2且xy＝1，即x2＝2y2＝时等号成立，故x2＋2y2的最小值为2.答案：217．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．解析：ab＝a＋b＋3≥2＋3，所以(－3)(＋1)≥0，所以≥3，所以ab≥9.答案：[9，＋∞)8．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．解析：x＋≥a恒成立⇔≥a，因为x＞1，即x－1＞0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．所以a≤3，即a的最大值为3.答案：3三、解答题9．(1)已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值；(2)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝4，求＋的最小值．解：(1)因为x＜3，所以x－3＜0，所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，所以f(x)的最大值为－1.(2)因为x，y∈R＋，所以(x＋y)＝4＋≥4＋2.当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．又x＋y＝4，所以＋≥1＋，故＋的最小值为1＋.10．(1)设a＞b＞c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．(2)记F(x，y)＝x＋y－a(x＋2)，x，y∈(0，＋∞)．若对任意的x，y∈(0，＋∞)，恒有F(x，y)≥0，请求出a的取值范围．解：(1)由a＞b＞c，知a－b＞0，a－c＞0.所以原不等式等价于＋≥m.要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立，所以m≤4，即m∈(－∞，4]．(2)由F(x，y)≥0，得x＋y≥a(x＋2)．因为x＞0，y＞0，所以a≤.所以a≤.因为2≤x＋2y，所以≥＝，当且仅当x＝2y＞0时，等号成立．所以a∈.B级能力提升21．某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．若使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为()A.40米，10米B．20米，20米C．30米，米D．50米，8米解析：设总造价为y元，污水池的长为x米，则宽为米，总造价y＝×200＋2×250·＋80×400＝400·＋32000≥400×2＋32000＝56000(元)，当且仅当x＝，即x＝30时等号成立，此时污水池的宽为米．答案：C2．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n＞0，则＋的最小值为________．解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，且点A在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，m，n＞0，所以＋＝·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即时等号成立．答案：83．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池糖养鱼，挖出的泥土堆在...