第80练高考大题突破练—直线与圆锥曲线的位置关系[基础保分练]1．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1(－1,0)且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆交于A，B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设线段AB的中垂线与x轴交于点D，求证：AB＝4DF1.2．已知圆O：x2＋y2＝1过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)过点(0，t)作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.(1)求直线BF的斜率；(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，PM＝λMQ.求λ的值．[能力提升练]4．已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC与BD同向．(1)求C2的方程；(2)若AC＝BD，求直线l的斜率．1答案精析1．(1)解焦点F1的坐标为(－1,0)，即可得c＝1.根据椭圆的定义BF1＋BF2＝2a，AF1＋AF2＝2a.∴△ABF2周长为AB＋BF2＋AF2＝BF1＋BF2＋AF1＋AF2＝4a＝8，可得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)证明设直线l的方程为y＝k(x＋1)，联立椭圆方程，可得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.x1,2＝，则有x1＋x2＝－，x1x2＝，利用弦长公式得AB＝|x1－x2|＝，设AB的中点为P，则点P的横坐标为＝－，纵坐标为，直线PD为y＝－x－，令y＝0，求得点D为，则有DF1＝，与AB的长度作比可得AB＝4DF1成立．2．解(1)∵圆O过椭圆C的短轴端点，∴b＝1.又∵线段PQ长度的最大值为3，∴a＋1＝3，即a＝2，∴椭圆C的标准方程为＋x2＝1.(2)由题意可设切线MN的方程为y＝kx＋t，即kx－y＋t＝0，2则＝1，得k2＝t2－1.①联立得方程组消去y整理得(k2＋4)x2＋2ktx＋t2－4＝0.其中Δ＝(2kt)2－4(k2＋4)(t2－4)＝－16t2＋16k2＋64＝48>0，x1,2＝，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，则MN＝·.②将①代入②得MN＝，∴S△OMN＝×1×MN＝，而＝≤1，当且仅当|t|＝时等号成立，即t＝±.综上可知，(S△OMN)max＝1.3．解(1)设F(－c,0)．由已知离心率＝及a2＝b2＋c2，可得a＝c，b＝2c，又因为B(0，b)，F(－c,0)，故直线BF的斜率k＝＝＝2.(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．由(1)可得椭圆的方程为＋＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－.因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为y＝－x＋2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝.又因为λ＝及xM＝0，可得λ＝＝＝.4．解(1)由C1：x2＝4y知，其焦点F的坐标为(0,1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，3所以＋＝1.②联立①②，得a2＝9，b2＝8.故C2的方程为＋＝1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．因为AC与BD同向，且AC＝BD，所以AC＝BD，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.由得x2－4kx－4＝0.而x1，x2是这个方程的两根，x1,2＝2k±2，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.而x3，x4是这个方程的两根，x3,4＝，所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.45
