课时训练12抛物线的简单几何性质1.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是().A.x2=±3yB.y2=±6xC.x2=±12yD.x2=±6y答案:C解析:依题意知抛物线方程为x2=±2py(p>0)的形式,又=3,∴p=6,2p=12,故方程为x2=±12y.2.经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的值是().A.4B.-4C.p2D.-p2答案:B解析:采用特例法,当直线与x轴垂直时,易得A,B,∴=-4.3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F点作直线交抛物线C于A,B两点,则△AOB的最小面积是().A.B.2C.4D.1答案:B解析:设直线AB的倾斜角为θ,由弦长公式得|AB|=,又∵原点O到直线AB的距离d=sinθ,∴S△AOB=sinθ·.∴当sinθ=1时,(S△AOB)min=2,故选B.4.抛物线y=x2上与直线2x-y=4距离最近的点的坐标是().A.B.(1,1)C.D.(2,4)答案:B解析:设抛物线上的点(x0,y0),则它到直线2x-y=4的距离d=,所以当x0=1,y0==1时,d取最小值.5.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,灯口直径为60cm,灯深40cm,则光源到反射镜顶点的距离是().A.11.25cmB.5.625cmC.20cmD.10cm答案:B解析:如图建立直角坐标系,则A(40,30).设抛物线方程为y2=2px(p>0),将点(40,30)代入得p=,所以=5.625.16.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方程是().A.x=pB.x=3pC.x=pD.x=p答案:D解析:由|OA|=|OB|,设点A,B的坐标分别为A(x0,y0),B(x0,-y0),满足kFA·kOB=-1,即·=-1.∴x0.又=2px0,∴x0=p.7.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为.答案:解析:由已知得点B的纵坐标为1,横坐标为,即B,将其代入y2=2px得1=2p×,解得p=,则点B到准线的距离为p=.8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.若,则p=.答案:2解析:过B作准线的垂线,垂足为B1,设l与x轴交于M1,则易得MM1⊥l.由AM=MB得BB1=2MM1=AM=BM,所以点M恰为抛物线的焦点,即=1,p=2.9.已知点A(0,-2),B(0,4),动点P(x,y)满足=y2-8.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设(1)中所求轨迹与直线y=x+2交于C,D两点,求证:OC⊥OD(O为坐标原点).(1)解:由题意可得·=(-x,-2-y)·(-x,4-y)=y2-8.化简得x2=2y.(2)证明:将y=x+2代入x2=2y中,得x2=2(x+2),整理得x2-2x-4=0,可知Δ=4+16=20>0.设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=2,x1x2=-4.因为y1=x1+2,y2=x2+2,所以y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=4.因为·=x1x2+y1y2=0,所以OC⊥OD.10.已知抛物线y2=4x的准线与x轴交于M点,过M点作直线与抛物线交于A,B两点,若AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0).(1)求x0的取值范围;(2)若△ABE是等边三角形,求x0的值.解:(1)设过M点的直线l:y=k(x+1)(k≠0),将l的方程代入y2=4x,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,①2所以Δ=4(k2-2)2-4k4>0.解得-13,即x0>3.(2)因为△ABE为等边三角形,所以△ABE的高d=|AB|.因为点E到直线AB的距离为d=,|AB|=|x1-x2|=,所以.解得k=±,所以x0=+1=.3
