第9练三角恒等变换与三角函数[明晰考情]1.命题角度：常与三角恒等变换结合，考查三角函数的单调性、对称性、周期性、最值等.2.题目难度：三角函数的大题一般在解答题的第一个题，和数列问题交替考查，中低档难度.考点一三角函数的单调性、最值问题方法技巧类比y＝sinx的性质，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看作一个整体t，可求得函数的单调区间，注意ω的符号；利用函数y＝Asint的图象可求得函数的最值(值域).1.已知向量a＝(1，sinx)，b＝，函数f(x)＝a·b－cos2x.(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域.解(1)函数f(x)＝a·b－cos2x＝cos＋sin2x－cos2x＝cos2xcos－sin2xsin＋－cos2x＝－＝－sin，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)当x∈时，2x＋∈，因此sin∈，所以当x∈时，函数f(x)的值域是.2.已知函数f(x)＝sinsinx－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性.解(1)f(x)＝sinsinx－cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减.3.已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值及相应的x的值.1解(1) 当x∈时，≤2x＋≤，∴－≤sin≤1，又 a＞0，－5≤f(x)≤1，∴解得(2)由a＝2，b＝－5知，f(x)＝－4sin－1，∴当x∈时，≤2x＋≤，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－5；当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值－3.考点二三角函数的图象及应用要点重组三角函数图象的对称问题(1)y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝(k∈Z)，对称中心为(k∈Z).(2)y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝(k∈Z)，对称中心为(k∈Z).(3)y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为(k∈Z).方法技巧(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定φ值时，往往寻找“五点法”中的某一个点作为突破口.4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝m在上有两个不同的实根，求m的取值范围.解(1)由图可知A＝1,＝·＝－，∴ω＝2.又2·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝sin.(2)由(1)及图知，方程f(x)＝sin＝m在上有两个不同的实根，可得直线y＝m和f(x)的图象在上有两个不同的交点.由于f(x)在，上单调递减，在上单调递增，f＝，f＝0，∴m∈∪.5.某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2πx2Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：ωx＋φ0π2πxAsin(ωx＋φ)050－50且函数表达式为f(x)＝5sin.(2)由(1)知，f(x)＝5sin，得g(x)＝5sin.因为函数y＝sinx的图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z，由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.6.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象与直线y＝2两相邻交点之间的距离为π，且图象关于x＝对称.(1)求y＝f(x)的解析式；(2)先将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及满足g(x)≥的x的取值范围.解(1)由已知可得T＝π，＝π，∴ω＝2，又f(x)的图象关于x＝对称，∴2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z. －<φ<，∴φ＝－.∴f(x)＝2sin.(2)由(1)可得f(x)＝2sin，∴g(x)＝2sin，∴由2k...
