高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 第2课时 分析法优化练习 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

2.2.1第2课时分析法[课时作业][A组基础巩固]1．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a索的因应是()A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：要证＜a，只需证b2－ac＜3a2，只需证b2－a(－b－a)＜3a2，只需证2a2－ab－b2＞0，只需证(2a＋b)(a－b)＞0，只需证(a－c)(a－b)＞0.故索的因应为C.答案：C2．证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下： f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－. x>0，∴ex>1,0<<1，∴ex－>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是()A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.答案：A3．要使a2＋b2－a2b2－1≤0成立的充要条件是()A．|a|≥1且|b|≥1B．|a|≥1且|b|≤1C．(|a|－1)(|b|－1)≥0D．(|a|－1)(|b|－1)≤0解析：a2＋b2－a2b2－1≤0⇔a2(1－b2)＋(b2－1)≤0⇔(b2－1)(1－a2)≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0⇔(|a|－1)(|b|－1)≥0.答案：C4.＋与＋的大小关系是()A.＋≥＋B.＋≤＋C.＋＞＋D.＋＜＋解析：要想确定＋与＋的大小，只需确定(＋)2与(＋)2的大小，只需确定8＋2与8＋2的大小，即确定与的大小，显然＜.∴＋＜＋.答案：D5．若x，y∈R＋，且＋≤a恒成立，则a的最小值是()A．2B.1C．2D．1解析：原不等式可化为a≥＝＝要使不等式恒成立，只需a不小于的最大值即可． ≤，当x＝y时取等号，∴a≥，∴a的最小值为.故选B.答案：B6．设n∈N，则－________－(填＞、＜、＝)．解析：要比较－与－的大小．即判断(－)－(－)＝(＋)－(＋)的符号， (＋)2－(＋)2＝2[－]＝2(－)＜0.∴－＜－.答案：＜7.如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.答案：AC⊥BD(答案不唯一)8．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m－n|＝________.解析：不妨设是x2－mx＋2＝0的一根，另一根为a，则m＝a＋，a＝2.设x2－nx＋2＝0的两根为b，c,则n＝b＋c，bc＝2.由，b，c，a成等比数列及a＝4可得b＝1，c＝2，从而m＝，n＝3，|m－n|＝.答案：9．已知0＜a≤1,0＜b≤1,0＜c≤1，求证：≥1.证明： a＞0，b＞0，c＞0，∴要证≥1，只需证1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc，即证1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0. 1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a)＝(1－a)(1－b－c＋bc)＝(1－a)(1－b)(1－c)，又a≤1，b≤1，c≤1，∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0.∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0成立，即证明了≥1.10．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．证明：设圆和正方形的周长为l，依题意，圆的面积为π()2，正方形的面积为()2，2因此本题只需证明π()2＞()2.为了证明上式成立，只需证明＞，两边同乘以正数，得＞，因此，只需证明4＞π.上式显然成立，故π()2＞()2.[B组能力提升]1．已知a，b为正实数，函数f(x)＝()x，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A，B，C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：因为函数f(x)＝()x为减函数，所以要比较A，B，C的大小，只需比较，，的大小，因为≥，两边同乘得：·≥ab，即≥，故≥≥，∴A≤B≤C.答案：A2．设甲：函数f(x)＝|x2＋mx＋n|有四个单调区间，乙：函数g(x)＝lg(x2＋mx＋n)的值域为R，那么甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．以上均不对解析：对甲，要使f(x)＝|x2＋mx＋n|有四个单调区间，只需要Δ＝m2－4n>0即可；对乙，要使g(x)＝lg(x2＋mx＋n)的值域为R，只需要u＝x2＋mx＋n的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m2－4n≥0，所以甲是乙的充分不必要条件．答案：A3．要证－<成立，则a，b应满足的条件是________．解析：要证－<，只需证(－)3<()3，即a－b－3＋30，即(－)>0.故所需条件为或即ab>0且a>b或ab<0且a0且a>b或ab<0且a