课时跟踪检测（四十四）直线、平面垂直的判定及其性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是____________．解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．答案：平行或异面2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形个数为________．解析：由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形．答案：43．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若a⊥α且a⊥β，则α∥β；③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.上面命题中，所有真命题的序号是________．解析：①中a与b可能相交或异面，故不正确．②垂直于同一直线的两平面平行，正确．③中存在γ，使得γ与α，β都垂直．④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以．答案：②③④4.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确，②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．答案：①②④5．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，则直线AA1到平面BB1D1D的距离为________cm.解析：连结AC交BD于点O，则AO⊥BD.因为BB1⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以BB1⊥AO.又BB1∩BD＝B，所以AO⊥平面BB1D1D.又AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1D1D，BB1⊂平面BB1D1D，所以AA1∥平面BB1D1D，所以线段AO的长就是直线AA1到平面BB1D1D的距离．因为AB1＝AD＝3cm，AB⊥AD，AO⊥BD，所以AO＝，即直线AA1到平面BB1D1D的距离为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1．如图，边长为2的正方形ABCD在平面α上的射影为四边形EFCD，且AB到平面α的距离为，则AD与平面α所成的角为________．解析：易知∠ADE为AD与平面α所成的角．在Rt△AED中，AE＝，AD＝2，所以sin∠ADE＝＝，所以∠ADE＝30°.答案：30°2．如图，BC是Rt△BAC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连结PB，PC，过A作AD⊥BC于点D，连结PD，那么图中直角三角形的个数是________．解析：由线面垂直的判定与性质，可知直角三角形有△ABC，△ADC，△ADB，△PAB，△PAD，△PAC，△PDB，△PDC，共8个．答案：83.(2016·启东中学检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是________(填序号)．①线段A1M与B1C所在直线为异面直线；②对角线BD1⊥平面AB1C；③平面AMC⊥平面AB1C；④直线A1M∥平面AB1C.解析：由异面直线的定义，可知①正确；易证明BD1⊥AB1，BD1⊥AC，所以BD1⊥平面AB1C，所以②正确；连结BD交AC于点O，连结OM，可以证明OM∥BD1，所以OM⊥平面AB1C，进而可得平面AMC⊥平面AB1C，所以③正确；由题意，得直线A1M与平面AB1C相交，所以④不正确．答案：①②③4．如图，已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是________(填序号)．①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC.2解析：由BC∥DF，得BC∥平面PDF，故①正确；由BC⊥AE，BC⊥PE，得BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，平面PAE⊥平面ABC，故②④都正确．易知③不正确．答案：①②④5．(2016·上饶质检)已知m，n是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，现有以下说法：①若α∥β，n⊂α，m⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β；③若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；⑤若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n.其中正确说法的序号...
