【成才之路】2016年春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第3课时均值不等式的应用-最值问题同步练习新人教B版必修5一、选择题1．若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是()A．≤B．＋≥1C．≥2D．≥1[答案]B[解析]取x＝1，y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B．具体比较如下： 00，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A．>B．＋≤1C．≥2D．≤[答案]D[解析] a>0，b>0，a＋b＝4，∴≤＝2，∴ab≤4，∴≥，∴＋＝＝≥1，故A、B、C均错，选D．[点评]对于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴≤.4．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为()A．18B．12C．2D．[答案]A[解析] x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y≥2＝2＝2＝18，等号在3x＝32y即x＝2y时成立． x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.5．(2016·云南师大附中高三月考)已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于()A．2B．4C．2D．2[答案]C[解析]当a>0，b>0时，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因为ab的最大值为2，所以＝2，t2＝8，所以t＝＝2.故选C．6．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]1C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2][答案]D[解析] 2x＋2y≥2，∴2≤1，∴2x＋y≤＝2－2，∴x＋y≤－2，故选D．二、填空题7．已知x、y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．[答案]3[解析] x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3，当且仅当＝，即x＝，y＝2时取等号．8．已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________[答案](a－b)2[解析]从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式≥()2更简捷．∴y＝(x－a)2＋(x－b)2≥2[]2＝.当且仅当x－a＝b－x，即x＝时，上式等号成立．∴当x＝，ymin＝.三、解答题9．已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．[解析]x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，等号在＝即＝时成立．∴x＋y的最小值为(＋)2＝18，又a＋b＝10，∴ab＝16.∴a、b是方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.10.设x>0，y>0，且x2＋＝1，求x的最大值．[解析] x>0，y>0且x2＋＝1，∴x＝＝＝·≤·＝，当且仅当2x2＝1＋y2，即x＝，y＝时等号成立．∴x的最大值为.一、选择题1．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为()A．6B．7C．8D．9[答案]D[解析] a＋b＝1，a>0，b>0，∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．∴＝·2＝·＝＝＝＋1≥＋1＝9，故选D．2．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为()A．B．C．2D．4[答案]D[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4(等号在a＝b＝时成立)．故所求最小值为4，选D．3．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3][答案]D[解析] x>1，∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3(当x＝2时等号成立)．要使x＋≥a恒成立，则须使a≤3.4．已知正数x、y满足＋＝1，则xy有()A．最小值B．最大值16C．最小值16D．最大值[答案]C[解析] x>0，y>0，∴＋≥2＝4，又 ＋＝1，∴4≤1，∴≤，∴xy≥16，故选C．二、填空题5．一批救灾物资随17列火车以vkm/h的速度匀速直达400km以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于()2km，则这批物资全部运送到灾区最少需__________h.[答案]8[解析]物资全部运到灾区需t＝＝＋≥8h，等号成立时，＝，即v＝100.故最少要用8h.6．若正实数x、y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．[答案]18[解析] x>0，y>0，∴2x＋y≥2，∴...
