选修1-22章末总结一、选择题1．若θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4表示的曲线不可能是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆[答案]C[解析]sinθ可以等于1，这时曲线表示圆，sinθ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sinθ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．2．(2009·安徽高考)下列曲线中离心率为的是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[答案]B[解析]双曲线－＝1的离心率e＝＝.3．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)[答案]B[解析]∵a2＝4，b2＝－k，∴c2＝4－k.∵e∈(1,2)，∴＝∈(1,4)，k∈(－12,0)．4．抛物线y＝x2到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是()A．(，)B．(1,1)C．(，)D．(2,4)[答案]B[解析]设P(x，y)为抛物线y＝x2上任一点，则P到直线的距离d＝＝＝，所以当x＝1时，d取最小值，此时P为(1,1)．5．(2009·山东)设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.B．5C.D.[答案]D[解析]双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，由方程组消去y，得x2－x＋1＝0有唯一解，所以Δ＝2－4＝0，所以＝2，∴e＝＝＝＝，故选D.二、填空题6．已知点A(0,1)是椭圆x2＋4y2＝4上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，1则点P的坐标是________．[答案](±，－)[解析]∵点P在椭圆上，∴设点P的坐标为(2cosθ，sinθ)，则|AP|＝＝.当sinθ＝－时，|AP|最大，此时点P的坐标为(±，－)．7．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是________．[答案]2x－y－15＝0[解析]设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x－4y＝4，x－4y＝4，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵AB的中点为P(8,1)，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴＝2.∴直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，即2x－y－15＝0.三、解答题8．已知双曲线与椭圆＋＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为，求双曲线的方程．[解析]椭圆＋＝1的焦点为(0，±)，离心率为e1＝.由题意可知双曲线的两焦点为(0，±)，离心率e2＝.所以所求双曲线的方程为－＝1.9．如图所示，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．[解析]由椭圆的方程＋＝1知，a＝4，b＝3，∴c＝＝.由c＝知F1(－，0)，F2(，0)，又k1＝tan45°＝1，∴直线l的方程为x－y＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去x，整理得25y2－18y－81＝0，∴|y1－y2|＝＝＝.∴S△ABF2＝|F1F2|·|y1－y2|＝×2×＝.2
