4.2简单线性规划课后篇巩固探究A组1.(2017北京高考)若x,y满足{x≤3,x+y≥2,y≤x,则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.9解析:由题意画出可行域(如图).设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-12的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9.故选D.答案:D2.(2017山东高考)已知x,y满足约束条件{x-2y+5≤0,x+3≥0,y≤2,则z=x+2y的最大值是()A.-3B.-1C.1D.3解析:可行域为如图所示阴影部分(包括边界).把z=x+2y变形为y=-12x+12z,作直线l0:y=-12x并向上平移,当直线过点A时,z取最大值,易求点A的坐标为(-1,2),所以zmax=-1+2×2=3.答案:D13.已知在平面直角坐标系xOy内的区域D由不等式组{0≤x≤√2,y≤2,x≤√2y给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(√2,1),则z=⃗OM·⃗OA的最大值为()A.4√2B.3√2C.4D.3解析:画出可行域,而z=⃗OM·⃗OA=√2x+y,所以y=-√2x+z.令l0:y=-√2x,将l0平移到过点(√2,2)时,截距z有最大值,故zmax=√2×√2+2=4.答案:C4.已知x,y满足{x+y≤4,2x+y≥3,0≤x≤3,y≥1则点P(x,y)到直线x+y=-2的距离的最小值为()A.√2B.2√2C.√22D.5√22解析:不等式组{x+y≤4,2x+y≥3,0≤x≤3,y≥1所表示的可行域如图阴影部分.其中点P(1,1)到直线的距离最短,其最小值为2+2√2=2√2.故选B.答案:B5.若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为.解析:由y=|x-1|={x-1,x≥1,-x+1,x<1及y=2画出可行域如图阴影部分.2令2x-y=z,则y=2x-z,画直线l0:y=2x并平移到过点A(-1,2)时,-z最大,即zmin=2×(-1)-2=-4.答案:-46.若变量x,y满足约束条件{3≤2x+y≤9,6≤x-y≤9,则z=x+2y的最小值为.解析:根据{3≤2x+y≤9,6≤x-y≤9得可行域如图,根据z=x+2y得y=-x2+z2,平移直线y=-x2,在点M处z取得最小值.由{x-y=9,2x+y=3得{x=4,y=-5,此时zmin=4+2×(-5)=-6.答案:-67.若实数x,y满足{x-y+1≥0,x+y≥0,x≤0,则z=3x+2y的最小值为.解析:不等式组所表示的可行域如图阴影部分.令t=x+2y,则当直线y=-12x+12t经过原点O(0,0)时,12t取最小值,即t的最小值为0,则z=3x+2y的最小值为30=1.3答案:18.导学号33194070若实数x,y满足不等式组{x≥1,x-y+1≤0,2x-y-2≤0,则(x+2)2+(y+1)2的最小值为.解析:画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分.√(x+2)2+(y+1)2表示可行域内的点D(x,y)与定点M(-2,-1)间的距离.显然当点D在点A(1,2)时,|DM|最小,这时|DM|=3√2,故(x+2)2+(y+1)2的最小值是18.答案:189.已知x,y满足约束条件{x+y≤6,5x+9y≤45,x≥0,y≥0,求z=5x-8y的最大值.解作出不等式组{x+y≤6,5x+9y≤45,x≥0,y≥0表示的可行域,如图阴影部分.作直线l0:5x-8y=0,平移直线l0,由图可知,当直线平移到经过A点时,z取最大值.解方程组{x+y=6,y=0,得A(6,0),所以zmax=5×6-8×0=30.10.导学号33194071已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.解如图所示,令a=x,b=y,z=9a-b,即已知-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,求z=9x-y的取值范围,画出不等式表示的可行域如图阴影部分.4由z=9x-y,得y=9x-z,当直线过点A时,z取最大值,当直线过点B时,z取最小值.由{4x-y=5,x-y=-4,得A(3,7),由{4x-y=-1,x-y=-1,得B(0,1),所以zmax=9×3-7=20,zmin=-1,所以9a-b的取值范围是[-1,20].B组1.在约束条件{y≤x,y≥12x,x+y≤1下,目标函数z=x+12y的最大值为()A.14B.34C.56D.53解析:由z=x+12y,得y=-2x+2z.作出可行域如图阴影部分,平移直线y=-2x+2z,当直线经过点C时,直线y=-2x+2z在y轴上的截距最大,此时z最大.由{y=12x,x+y=1,解得点C坐标为(23,13),代入z=x+12y,得z=23+12×13=56.答案:C52.已知x,y满足约束条件{x≥0,y≥0,x+y≥1,则(x+3)2+y2的最小值为()A.√10B.2√2C.8D.10解析:画出可行域(如图).(x+3)2+y2表示点A(-3,0)与可行域内点(x,y)间距离的平方.显然|AC|长度最小,所以|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10.答案:D3.若关于x,y的不等式组{2x-y+1>0,x+m<0,y-m>0表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2.则m的取值范围是()A.(-∞,43)B.(-∞,13)C.(-∞,-23)D.(-∞,-53)解析:由线性约束条件可画出如图所示的可行域,要使可行域内存在点P(x0,y0),使x0-2y0=2成立,只需点A(-m,m)在直线x-2y-2=0的下方即可,即-m-2m-2>0,解得m<-23.故选C.答案:C4.设不等式组{x≥1,x-2y+3≥0,y≥x所...
