3.4.2基本不等式的应用一、填空题1．函数y＝log2(x>1)的最小值为2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为3．若xy是正数，则2＋2的最小值是4．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．5．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．6．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________．二、解答题7．求下列函数的最小值．(1)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值；(2)设x>－1，求y＝的最小值．8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?9.已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3.求a＋b的最小值．10如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？1答案1答案32答案4解析∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝4.3答案4解析2＋2＝x2＋y2＋＋＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4.当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．4答案1760解析设水池的造价为y元，长方形底的一边长为xm，由于底面积为4m2，所以另一边长为m．那么y＝120·4＋2·80·＝480＋320≥480＋320·2＝1760(元)．当x＝2，即底为边长为2m的正方形时，水池的造价最低，为1760元．5答案8解析∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8.当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．故＋的最小值为8.6答案解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.7解(1)2x＋y＝＝(2x＋y)＝≥(2＋4)＝.当且仅当＝时取“＝”，即y2＝4x2，∴y＝2x.又∵＋＝3，求出x＝，y＝.∴2x＋y的最小值为.(2)∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.8解设使用x年的年平均费用为y万元．由已知，得y＝，即y＝1＋＋(x∈N*)．由基本不等式知y≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．解方法一∵a＋b＋3＝ab≤，设a＋b＝t，t>0，则t2≥4t＋12.解得：t≥6(t≤－2舍去)，∴(a＋b)min＝6.方法二∵ab＝a＋b＋3，∴b＝>0，∴a>1.∴a＋b＝a＋＝a＋＋1＝(a－1)＋＋2≥2＋2＝6.当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号．10解(1)设每间虎笼长xm，宽为ym，则由条件知：4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼面积为S，则S=xy.方法一由于2322326xyxyxy，2618,xy得27,2xy即27,2S当且仅当23,xy等号成立，由2318,23,xyxy解得4.5,3,xy故每间笼长为4.5m,宽为3m,可使面积最大，方法二由2318xy，得39,2xyx>0,0
