【成才之路】2015-2016学年高中数学第3章2第2课时最大值、最小值问题课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为()A．B．C．D．[答案]A[解析]f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0得x＝(x＝－舍去)，计算比较得最大值为f()＝.2.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10km时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h航行时，能使行驶每公里的费用总和最小()A．20B．30C．40D．60[答案]A[解析]设船速为每小时x(x＞0)公里，燃料费为Q元，则Q＝kx3，由已知得：6＝k·103，∴k＝，即Q＝x3.记行驶每公里的费用总和为y元，则y＝(x3＋96)·＝x2＋y′＝x－，令y′＝0，即x－＝0，解之得：x＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥B．m>C．m≤D．m<[答案]A[解析]由f′(x)＝2x3－6x2＝0得，x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.4．若函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围为()A．[－1,1)B．[－2,1)C．[－2，－1)D．(－2，＋∞)[答案]B[解析]由于f′(x)＝－x2＋1，易知函数在(－∞，－1]上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减，故若函数在(a,10－a2)上存在最大值的条件为⇒－1≤a＜1或综上可知a的取值范围为[－2,1)．5．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小1时t的值为()A．1B．C．D．[答案]D[解析]本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值．令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－lnx，∴F′(x)＝2x－.令F′(x)＝0，∴x＝，∴F(x)在x＝处最小．二、填空题6．下列结论中正确的有________．①在区间[a，b]上，函数的极大值就是最大值；②在区间[a，b]上，函数的极小值就是最小值；③在区间[a，b]上，函数的最大值、最小值在x＝a和x＝b处取到；④在区间[a，b]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值．[答案]④[解析]由函数最值的定义知，①②③均不正确，④正确．故填④.7．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝________.[答案][解析]f′(x)＝4ax3－12ax2(a>0，x∈[1,4])．由f′(x)＝0，得x＝0(舍)，或x＝3，可得x＝3时，f(x)取得最小值为b－27A．又f(1)＝b－3a，f(4)＝b，∴f(4)为最大值．由解得∴a＋b＝.8.设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为__________________．[答案]4[解析]本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－，设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；当x<0即x∈[－1,0]，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.三、解答题9.(2014·江西理，18)已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围．[解析](1)当b＝4时，f(x)＝(x＋2)2的定义域为(－∞，)，f′(x)＝，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2,0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，2故f(x)在x＝－2取极小值f(－2)＝0，在x＝0取极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝，因为当x∈(0，)时，<0，依题意当x∈(0，)时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0.所以b的取值范围为(－∞，]．10.(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y＝...
