附加题满分练21.(2018·江苏省盐城中学质检)已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点.求证：直线PC经过点E.证明连结AE，EB，OE，则∠AOE＝∠BOE＝90°.因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，所以∠APE＝∠AOE＝45°.同理可得∠BPE＝45°，所以PE是∠APB的平分线.又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合.所以直线PC经过点E.2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C.设变换T1,T2对应的矩阵分别为M＝，N＝，求对△ABC依次实施变换T1,T2后所得图形的面积.解依题意，依次实施变换T1,T2所对应的矩阵NM＝＝.则＝，＝，＝.∴A，B，C分别变为点A′，B′，C′.∴所得图形的面积为×6×4＝12.3.已知两个动点P，Q分别在两条直线l1：y＝x和l2：y＝－x上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记OM＝OP＋OQ，求动点M的轨迹的普通方程.解设M(x，y)，则两式平方相加得x2＋y2＝2.又x＝sin，y＝sin，θ∈[0，π]，所以x∈[－1，]，y∈[－1，].所以动点M轨迹的普通方程为x2＋y2＝2(x，y∈[－1，]).4.(2018·江苏省盐城中学质检)已知a>0，b>0，证明：(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2.证明因为a>0，b>0，所以a2＋b2＋ab≥3＝3ab>0，ab2＋a2b＋1≥3＝3ab>0，所以(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2.5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率；1(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与数学期望.解(1)设甲第i次投中获胜的事件为A1(i＝1,2,3)，则A1，A2，A3彼此互斥.甲获胜的事件为A1＋A2＋A3.P(A1)＝，P(A2)＝××＝，P(A3)＝2×2×＝.所以P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.(2)X的所有可能取值为1,2,3.则P(X＝1)＝＋×＝，P(X＝2)＝＋×××＝，P(X＝3)＝2×2×1＝.即X的概率分布为X123P所以数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.6.设n个正数a1，a2，…，an满足a1≤a2≤…≤an(n∈N*且n≥3).(1)当n＝3时，证明：＋＋≥a1＋a2＋a3；(2)当n＝4时，不等式＋＋＋≥a1＋a2＋a3＋a4也成立，请你将其推广到n(n∈N*且n≥3)个正数a1，a2，…，an的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.证明(1)因为an(n∈N*且n≥3)均为正实数，左—右＝＋＋≥＋＋＝0，所以原不等式＋＋≥a1＋a2＋a3成立.(2)归纳的不等式为：＋＋…＋＋＋≥a1＋a2＋…＋an(n∈N*且n≥3).记Fn＝＋＋…＋＋＋－(a1＋a2＋…＋an)，当n＝3(n∈N*)时，由(1)知，不等式成立；假设当n＝k(k∈N*且k≥3)时，不等式成立，即Fk＝＋＋…＋＋＋－(a1＋a2＋…＋ak)≥0.则当n＝k＋1时，Fk＋1＝＋＋…＋＋＋＋－(a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1)＝Fk＋＋＋－－－ak＋1＝Fk＋ak－1ak＋ak＋1＋(ak＋1－ak)≥0＋a＋ak＋1＋(ak＋1－ak)＝(ak＋1－ak)，因为ak＋1≥ak，＋≥2，≤＝2，所以Fk＋1≥0，所以当n＝k＋1时，不等式成立.综上所述，不等式＋＋…＋＋＋≥a1＋a2＋…＋an(n∈N*且n≥3)成立.2
