数列在日常经济生活中的应用VIP专享VIP免费

§4数列在日常经济生活中的应用等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关.以银行存款为例，它是老百姓日常生活中最基本的经济活动.银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以等差数列和等比数列为数学模型.下面分别举例说明.单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为利息=本金×利率×存期以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和(以下简称本利和),则有S=P(1+nr).复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是S=P(1+r)n.例1.零存整取模型银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式；(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?(3)若每月初存入一定金额,月利率是0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少?分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即按单利计息：利息=本金×利率×存期解：（1）根据题意,第1个月存入的x元,到期利息为x•r•n元;第2个月存入的x元,到期利息为x•r•（n-1）元……第n个月存入的x元,到期利息为xr元.(1)(12)(,2nnrxrnx元)(1)(2,nnrynxx元)不难看出,这是一个等差数列求和的问题.各月利息之和为而本金为nx元,这样就得到本利和公式(1)[]();2nnryxn+即元)(nN①（2）每月存入500元,月利率为0.3,﹪根据①式,本利和为3637;500(360.3%)18999()2y元（3）依题意,在①式中,y=2000，r=0.3%,n=12,答：每月应存入163.48元.2000(1)126130.3%2163.48()yxnnnr元，例2.定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题:(1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连存n年后,再取出本利和.试求出储户n年后所得本利和的公式;(2)如果存入1万元定期存款,存期为1年,年利率为2.79%,那么5年后共得本利和多少万元(精确到0.001)?解：（1）记n年后得到的本利和为an,根据题意，第1年存入的本金P元，1年后到期利息为P·r,1年后本利和为a1=P+P·r=P(1+r)(元);2年后到期利息为P(1+r)r元，2年后本利和为a2=P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r)2(元);……各年的本利和是一个以a1=P(1+r)为首项，公比q=1+r的等比数列{an},故n年后到期的本利和an=a1qn-1=P(1+r)(1+r)n-1=P(1+r)n(元)（复利公式）.(2)根据上式，5年后本利和为a5=1×(1+0.0279)5≈1.148(万元).答：5年后得本利和约为1.148万元.分期付款的有关规定1.分期付款分若干次付款,每次付款额相同,各次付款的时间间隔相同.2.分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算,即上月(年)的利息要计入本金.3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和,等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和,这在市场经济中是相对公平的.例3.分期付款模型小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的金额是多少?分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额.解：设小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元,则22500010.008;Ax2424210.008500010.0081.008;AAxxx26464210.008500010.0081.0081.008;AAxxxx212101210864210.008500010.0081.0081.0081.0081.0081.008;AAxxxxxxx由题意年底还清,所以120.A解得...