课时作业变化率与导数、导数的计算一、选择题1．(2011湖南高考)曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为()A．－B.C．－D.解析：y′＝＝，所以＝＝.答案：B2．(2012临沂质检)已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为()A.B.C．－D．－解析：由y＝x3，得y′＝3x2，即该曲线在点P(1,1)的切线的斜率为3.由3×＝－1，得＝－.答案：D3．(2012安徽“江南十校”联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝()A．－1B．－2C．1D．2解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2.答案：B4．(2011大纲全国高考)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.B.C.D．1解析：由题意得：y′＝(e－2x＋1)′＝e－2x(－2x)′＝－2e－2x，则在点(0,2)处的切线斜率为k＝－2e0＝－2，∴切线方程为：y＝－2x＋2.联立得C(，)．1∴与y＝0和y＝x围成三角形的面积为：S△OBC＝OB×＝×1×＝.答案：A5．下列图象中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝()A.B．－C.D．－解析：f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)， a≠0，∴其图象为最右侧的一个．由f′(0)＝a2－1＝0，得a＝±1.由导函数f′(x)的图象可知，a<0，故a＝－1，f(－1)＝－－1＋1＝－.答案：B6．已知f(x)＝alnx＋x2(a>0)，若对任意两个不等的正实数x1、x2，都有>2恒成立，则a的取值范围是()A．(0,1]B．(1，＋∞)C．(0,1)D．[1，＋∞)解析：由题意得f′(x)＝＋x≥2，当且仅当＝x，即x＝时取等号，所以>f′(x)min＝2≥2，∴a≥1.答案：D二、填空题7．(金榜预测)如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝______，f′(5)＝______.解析： 切线与y＝f(x)交于点P(5，y0)，∴y0＝－5＋8＝3.由导数的几何意义知f′(5)＝－1.答案：3－18．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．2解析： y＝x3－10x＋3，∴y′＝3x2－10.由题意，设切点P的横坐标为x0，且x0＜0，即3x－10＝2，∴x＝4，∴x0＝－2，∴y0＝x－10x0＋3＝15.故点P的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)三、解答题9．(理用)已知f(x)是二次函数，f′(x)是它的导函数，且对任意的x∈R，f′(x)＝f(x＋1)＋x2恒成立．(1)求f(x)的解析式；(2)设t>0，曲线C：y＝f(x)在点P(t，f(t))处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S(t)．求S(t)的最小值．解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(其中a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c.由已知得，2ax＋b＝(a＋1)x2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c，∴，解得a＝－1，b＝0，c＝1，∴f(x)＝－x2＋1.(2)由(1)得，P点坐标为(t,1－t2)，切线l的斜率k＝f′(t)＝－2t.∴切线l的方程为y－(1－t2)＝－2t(x－t)，即y＝－2tx＋t2＋1.从而可知l与x轴的交点为A(，0)，l与y轴的交点为B(0，t2＋1)，∴S(t)＝(其中t>0)．∴S′(t)＝.当0时，S′(t)>0，S(t)是增函数．∴S(t)min＝S()＝.9．(文用)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求y＝f(x)的解析式；(2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．解：(1)f′(x)＝a－，于是，解得或.由a，b∈Z，故f(x)＝x＋.3(2)证明：在曲线上任取一点(x0，x0＋)．由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为y－＝[1－](x－x0)．令x＝1得y＝，切线与直线x＝1的交点为(1，)．令y＝x得y＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)．直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为|－1|·|2x0－1－1|＝|||2x0－2|＝2.∴所围三角形的面积为定值2.10．(理用)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，和直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x...
