§2.2.1综合法和分析法[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知p：ab＞0；q：＋≥2，则A．p是q的充分而不必要条件B．p是q的必要而不充分条件C．p是q的充要条件D．p是q的既不充分也不必要条件解析ab＞0⇒a，b同号⇒＞0且＞0，∴＋≥2，又＋≥2⇒≥2⇒ab＞0.答案C2．已知a＞0，b＞0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．不能确定解析由ab＞0，得＞0，∴a＋b＋2＞a＋b，∴(＋)2＞()2⇒＞，∴lg＞lg，即m＞n，故选A.答案A3．若＜α＜，则A．sinα＞cosα＞tanαB．cosα＞tanα＞sinαC．sinα＞tanα＞cosαD．tanα＞sinα＞cosα解析取α＝，则tanα＝，sinα＝，cosα＝，∴tanα＞sinα＞cosα.答案D4．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有A．1≤ab≤B.＜ab＜1C.＜ab＜1D．ab＜1＜解析取a＝，b＝，则a＋b＝2，这时＝＝＞1.ab＝×＝＜1.∴ab＜1＜.答案D5．设a，b，c三数成等比数列，而x，y分别为a，b和b，c的等差中项，则＋等于A．1B．2C．3D．4解析∵ac＝b2，a＋b＝2x，b＋c＝2y，∴＋＝＋＝＋＝＝1＝＝2.答案B6．p＝＋，q＝·(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定解析q＝≥＝＋＝p，故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知a2＋b2＝1，b2＋c2＝2，c2＋a2＝2，则ab＋bc＋ca的最小值为________．解析由a2＋b2＝1，b2＋c2＝2，c2＋a2＝2得a2＝，b2＝，c2＝.若使ab＋bc＋ac最小，a取，b取，c取－.此时，原式＝－－＝－.答案－8．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是________．解析要比较b与c的大小，只需比较＋与＋的大小，只需比较(＋)2与(＋)2的大小，即比较与的大小，显然＜，从而－＜－，即b＜c，类似可得a＞c，∴a＞c＞b.答案a＞c＞b9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2，a9成等比数列，则＝________．解析由已知a＝a1·a9，即(a1＋d)2＝a1(a1＋8d)，整理，得：d2＝6a1d.∵d≠0，∴d＝6a1，∴原式＝＝＝.答案三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：＋＝.证明要证原式，只需证＋＝3，即证＋＝1，即只需证＝1.而由题意知A＋C＝2B，∴B＝，∴b2＝a2＋c2－ac，∴＝＝＝1，∴原等式成立，即＋＝.11．(12分)(1)求证：a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)．(2)已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.证明(1)∵a2＋b2≥2ab，a2＋3≥2a，b2＋3≥2b，将此三式相加得2(a2＋b2＋3)2≥2ab＋2a＋2b，∴a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)(等号当且仅当a＝b＝时取得)．(2)∵a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，∴＝··＝··≥2·2·2＝8.故≥8(等号当且仅当a＝b＝c时取得)．12．(13分)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.34
