专题强化练一函数的图象与性质一、选择题1．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝()A．2B．4C．6D．8解析：由已知得a＞0，所以a＋1＞1，因为f(a)＝f(a＋1)，所以＝2(a＋1－1)，解得a＝，所以f＝f(4)＝2(4－1)＝6.答案：C2．(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)解析：法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝lnx的图象上，所以y＝ln(2－x)．法二由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.答案：B3．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为()解析：令f(x)＝，定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)在定义域内为奇函数，图象关于原点对称，B不正确．又f＝0，f(π)＝0，f＝＜0.所以选项A，D不正确，只有选项C满足．答案：C4．(2018·广东省际名校(茂名)联考)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A．y＝在R上为减函数B．y＝|f(x)|在R上为增函数C．y＝－在R上为增函数D．y＝－f(x)在R上为减函数解析：取f(x)＝x3，则A项，C项中定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不满足．B项中，y＝|f(x)|＝|x3|在R上不单调，只有D项y＝－x3在R上是减函数．答案：D5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)为减函数，则不等式f＞f(log28)的解集为()A.B.C.D.解析：f(x)在R上是偶函数，且x≤0时，f(x)是减函数．所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数故原不等式化为＞3⇔log2(2x－5)＞3或log2(2x－5)＜－3.所以2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜.答案：C6．(2018·安徽宣城第二次调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有()A．f＜f＜fB．f＜f＜fC．f＜f＜fD．f＜f＜f解析：f(x)在R上是奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，则f＝f.又f(x)在[0，1]上是减函数，知f(x)在[－1，1]上也是减函数，故f＜f＜f.答案：B二、填空题7．(2018·成都诊断)函数f(x)＝＋的定义域为________．解析：由题意得解得x＞－1.答案：{x|x＞－1}8．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，且f(log4)＝－3，则a的值为________．解析：因为奇函数f(x)满足f(log4)＝－3，所以f(－2)＝－3，即f(2)＝3，又因为当x＞0时，f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，又2＞0，所以f(2)＝a2＝3，解得a＝.答案：9．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．解析：在同一坐标系中画出函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象，如图所示．根据图象，当x∈(－1，1]时，y＝f(x)的图象在y＝log2(x＋1)图象的上方．所以不等式的解集为(－1，1]．答案：(－1，1]三、解答题10．已知函数f(x)＝a－.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)＜f(2)的x的范围．解：(1)f(0)＝a－＝a－1.(2)因为f(x)的定义域为R，所以任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝，因为y＝2x在R上单调递增且x1＜x2，所以0＜2x1＜2x2，所以2x1－2x2＜0，2x1＋1＞0，2x2＋1＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在R上单调递增．(3)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即a－＝－a＋，解得a＝1(或用f(0)＝0去解)．所以f(ax)＜f(2)即为f(x)＜f(2)，又因为f(x)在R上单调递增，所以x＜2.所以不等式的解集为(－∞，2)．11．(2018·韶关质检)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若－1＜x＜1时，均有f(x)≤0成立，求正实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)－，f(x)的定义域为{x|x＞－1且x≠1}．f′(x)＝－＝，当－1＜x＜0或x＞3时，f′(x)＞0；当0＜x＜1或1＜x＜3，f′(x)＜0，所以函数f(x)的增区间为(－1，0)和(3，＋∞)；减区间为(0，1)和(1，3)．(2)f′(x)＝，－1＜x＜1，当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，故0＜x＜1时，f(x)＞f(0)＝0，不符合题意．当a＞0时，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.若0＜a＜1，此时0＜x1＜1，对0＜x＜x1，有f′(x)＞0，f(x)＞f(0)＝0，不符合题意．若a＞1，此时－1＜x1＜0，对x1＜x＜0，有f′(x)＜0，f(x)＞f(0)＝0，不符合题意，若a＝1，由(1)知，函数f(x)在x＝0处取得最大值0，符合题意，综上可知，实数a的取值为1.
