（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 第42课 数列的综合应用要点导学-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第九章第42课数列的综合应用要点导学要点导学各个击破数列与新背景、新定义的综合问题(2014·东莞一模)如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1层),第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,依次类推.(1)第n(n≥2)层的点数为;(2)如果一个六边形点阵共有169个点,那么它一共有层.(例1)[思维引导](1)可将第1,2,3,4,5层的点数一一列出,组成数列,然后判断数列的特点,猜出结论;(2)根据(1)的结果求解.[答案](1)6(n-1)(2)8[解析](1)第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为12,第4层的点数为18,第5层的点数为24,它们组成数列:1,6,12,18,24,分别记为a1,a2,a3,a4,a5.因为a3-a2=6,a4-a3=6,a5-a4=6,猜想an-an-1=6(n≥2),所以当n≥2时,由等差数列的通项公式可知an=a2+(n-2)d=6+(n-2)×6=6(n-1),即an=6(n-1)(n≥2).(2)由(1)得(-1)(66-6)2nn+1=169,解得n=8.[精要点评](1)对于数列与新背景、新定义的综合问题,此类问题出题背景广、新颖,解题的关键是读懂题意,有效地将信息转化,能较好地考查学生分析、解决问题的能力和知识的迁移能力.一般以客观题或解答题的形式出现,属于低、中档题.(2)解决数列与新背景、新定义的综合问题,可通过对新数表、图象、新定义的分析、探究,将问题转化为等差(比)数列的问题.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.1(变式)[答案]n2-n+1[解析]序号n决定了每个图的分支数,而第n个分支有(n-1)个点,中心再加1点,故有n(n-1)+1=n2-n+1个点.数列与函数、不等式等综合问题若数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N*.(1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列?(2)在(1)的结论下,设bn=log3an+1,Tn是数列11nnbb的前n项和,求T2015的值.[思维引导]解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)利用前n项和与通项的关系;(2)用裂项相消法求数列的前n项和.[解答](1)由题意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),所以当n≥2时,{an}是等比数列.要使{an}是等比数列,则需21aa=21tt=3,从而得出t=1.(2)由(1)知an=3n-1,bn=log3an+1=n,11nnbb=1(1)nn=1n-11n,T2015=121bb+…+201520161bb=11-2+11-23+…+11-20152016=20152016.[精要点评]本题以函数为背景,考查数列前n项和与通项的关系、等比数列、对数知识、裂项求前n项和等问题,内容较综合,但难度一般.(2014·扬州模拟)设函数f(x)=233xx(x>0),数列{an}满足a1=1,an=f-11na(n∈N*,n≥2),求数列{an}的通项公式.2[解答]因为an=f-11na=-1-112313nnaa=an-1+23(n∈N*,且n≥2),所以an-an-1=23(n≥2).因为a1=1,所以数列{an}是以1为首项、23为公差的等差数列,所以an=213n.数列型的实际应用问题某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;(2)若公司希望经过n(n≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用n表示).[解答](1)由题意得a1=2000(1+50%)-d=3000-d,a2=a1(1+50%)-d=32a1-d,an+1=an(1+50%)-d=32an-d.(2)由(1)得an=32an-1-d=232an-2-32d-d=-233-22nad-d=…=-132na1-d2-23331…222n,3整理得an=-132n(3000-d)-2d-13-12n=-132n(3000-3d)+2d.由题意知an=4000,所以-132n(3000-3d)+2d=4000,解得d=3-2100023-12nn=11000(3-2)3-2nnnn.故该企业每年上缴资金d的值为11000(3-2)3-2nnnn时,经过n(n≥3)年企业的剩余资金为4000元.[精要点评]与一般应用题类似,审清题意是解决此类问题的前提.本题中出现...