（江苏专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第41课 直线、平面垂直的判定及其性质教师用书-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第41课直线、平面垂直的判定及其性质[最新考纲]内容要求ABC直线与平面垂直的判定及性质√两平面垂直的判定及性质√1．直线与平面垂直图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m，n⊂α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，b⊂αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⇒l⊥α1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)1(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(2017·南京模拟)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：(1)若l⊥α，m⊂α，则l⊥m；(2)若l⊥α，l∥m，则m⊥α；(3)若l∥α，m⊂α，则l∥m；(4)若l∥α，m∥α，则l∥m，则其中正确的命题是____________．(填序号)(1)(2)[ l⊥α，m⊂a，∴l⊥m，故(1)正确；若l⊥α，l∥m，由线面垂直的第二判定定理，我们可得m⊥α，故(2)正确；若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行也可能垂直，故(3)错误；若l∥α，m∥α，则l与m可能平行也可能垂直也可能异面，故(4)错误．]3．如图411，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．图4114[ PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.∴△ABC，△PBC也是直角三角形．]4．(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的____________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的____________心．(1)外心(2)垂心[ PO⊥平面ABC，且PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．(2) PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，又PO⊥BC∴BC⊥平面PAO∴AO⊥BC，同理BO⊥AC，CO⊥AB，∴O是△ABC的垂心．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．a[如图所示，取BD的中点O，连结A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．2即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝a，∴A′C＝＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]线面垂直的判定与性质如图412所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.图412求证：PA⊥CD.【导学号：62172224】[证明]因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°.设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.[规律方法]1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．[变式训练1]如图413，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.图4133(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．[解](1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.又因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝×12＝.因为M是AD的中点，所以S△ABM＝S△ABD＝.根据(1)知，CD⊥平面ABD，则三棱锥CABM的高h＝CD＝1，故三棱锥VAMBC＝VCABM＝S△ABM·h＝.面面垂直的判定与性质...