（江苏专版）高考数学二轮复习 6个解答题专项强化练（六）应用题-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

6个解答题专项强化练(六)应用题1．某辆汽车以x千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶(高速公路行车安全要求为60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为升，其中k为常数，且60≤k≤100.(1)若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；(2)求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．解：(1)由题意可得当x＝120时，＝11.5，解得k＝100，由≤9，即x2－145x＋4500≤0，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，可得60≤x≤100，所以当每小时的油耗不超过9升时，x的取值范围为[60,100]．(2)设该汽车行驶100千米油耗为y升，则y＝·＝20－＋(60≤x≤120)，令t＝，则t∈，即有y＝90000t2－20kt＋20＝900002＋20－，对称轴为t＝.由60≤k≤100，可得∈.①若≥，即75≤k＜100，则当t＝，即x＝时，ymin＝20－；②若＜，即60≤k＜75，则当t＝，即x＝120时，ymin＝－.答：当75≤k＜100时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20－升；当60≤k＜75时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为－升．2.如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC＝200m，斜边AB＝400m，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.(1)若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；(2)设∠CEF＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF＝，请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．解：(1)依题意得BD＝300，BE＝100，在△ABC中，cosB＝＝，∴B＝，在△BDE中，由余弦定理得：DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cosB＝3002＋1002－2×300×100×＝70000，∴DE＝100.答：此时甲、乙两人之间的距离为100m.(2)由题意，得EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ，在Rt△CEF中，CE＝EF·cos∠CEF＝2ycosθ，在△BDE中，由正弦定理得＝，即＝，∴y＝＝，0<θ<，所以当θ＝时，y有最小值50.答：甲、乙之间的最小距离为50m.3.现需要设计一个仓库，它的上部是底面圆半径为5米的圆锥，下部是底面圆半径为5米的圆柱，且该仓库的总高度为5米．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/米2、1百元/米2.(1)记仓库的侧面总造价为y百元，①设圆柱的高为x米，试将y表示为关于x的函数y＝f(x)；②设圆锥母线与其轴所在直线所成角为θ，试将y表示为关于θ的函数y＝g(θ)；(2)问当圆柱的高度为多少米时，该仓库的侧面总造价(单位：百元)最少？解：(1)①由题可知，圆柱的高为x米，且x∈(0,5)，则该仓库的侧面总造价y＝(2π×5×x)×1＋×4＝10πx＋20π，x∈(0,5)．②由题可知，圆锥母线与轴所在直线所成角为θ，且θ∈，则该仓库的侧面总造价y＝2π×5×5×1＋×4＝50π，θ∈.(2)由②，令h(θ)＝，θ∈，则h′(θ)＝.令h′(θ)＝0，得cosθ＝，所以θ＝.则h′(θ)，h(θ)随θ的变化情况如表所示：θh′(θ)－0＋h(θ)极小值当θ＝时，h(θ)取得最小值，侧面总造价y最小，此时圆柱的高度为5－＝5－米.答：当圆柱的高度为5－米时，该仓库的侧面总造价最少.4.如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE＝30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tanθ＝.(1)若设计AB＝18米，AD＝6米，问能否保证上述采光要求？(2)在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中π取3)解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．(1)因为AB＝18，AD＝6，所以半圆的圆心为H(9,6)，半径r＝9.设太阳光线所在直线方程为y＝－x＋b，即3x＋4y－4b＝0，则由＝9，解得b＝24或b＝(舍去)．故太阳光线所在直线方程为y＝－x＋24,令x＝30，得EG＝1.5米...