第28练压轴小题专练(2)[明晰考情]高考题中填空题的最后2或3个小题，往往出现逻辑思维深刻，难度高档的题目.考点一与向量有关的压轴小题方法技巧(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.1.在△ABC中，已知AB·AC＝9，sinB＝cosA·sinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且CP＝x·＋y·，则xy的最大值为________.答案3解析由题设sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，即sinAcosC＝0，也即cosC＝0，∴C＝90°.又 bccosA＝9，故b2＝9，即b＝3. ab＝6，故a＝4，c＝5，故建立如图所示平面直角坐标系xCy，则A(3,0)，B(0,4)，则由题设可知P(x，y)，直线AB的方程为＋＝1且x＞0，y＞0，∴＋＝1≥2，即xy≤3，当且仅当x＝，y＝2时“＝”成立.2.已知点O是△ABC内部一点，且满足2OA＋3OB＋4OC＝0，则△AOB，△BOC，△AOC的面积之比为________.答案4∶2∶3解析如图所示，延长OA，OB，OC，使OD＝2OA，OE＝3OB，OF＝4OC，1 2OA＋3OB＋4OC＝0，∴OD＋OE＋OF＝0，即O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则△AOB的面积为，△BOC的面积为，△AOC的面积为，故△AOB，△BOC，△AOC的面积之比为∶∶＝4∶2∶3.3.(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1,1，，OA与OC的夹角为α，且tanα＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________.答案3解析如图，过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D.设OD＝mOA，DC＝nOB，则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°，由tanα＝7，得cosα＝，又由余弦定理知，即①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝或n＝，当n＝时，m＝10－5×＝－<0(舍去)，当n＝时，m＝10－5×＝，故m＋n＝＋＝3.4.已知OA＝(1,0)，OB＝(1,1)，(x，y)＝λOA＋μOB.若0≤λ≤1≤μ≤2时，z＝＋(m＞0，n＞0)的最大值为2，则m＋n的最小值为____________.答案＋解析(x，y)＝λOA＋μOB＝(λ＋μ，μ)⇒λ＝x－y，μ＝y，所以0≤x－y≤1≤y≤2，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线z＝＋斜率小于零知直线z＝＋过点(3,2)取最大值，即＋＝2，因此m＋n＝(m＋n)＝≥＝＋，当且仅当＝时取等号.考点二与解析几何有关的压轴小题方法技巧求圆锥曲线范围，最值问题的常用方法2(1)定义性质转化法：利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何中的结论确定最值或范围.(2)目标函数法：建立所求的目标函数，将所求最值转化为函数最值解决.(3)条件不等式法：找出与变量相关的所有限制条件，然后再通过解决不等式(组)求变量的范围.5.(2018·全国Ⅱ改编)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为________.答案解析如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设F1F2＝PF2＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得PB＝，BF2＝1，故AB＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.6.已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________.答案解析不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则B，所以＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－，所以＝－，所以直线PA，PB斜率的绝对值之和为＋≥2＝，由题意得≤1，所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，所以e2≥，又因为0
