第26课三角变换一、填空题1.已知sin-2=35,那么cos(π-2α)=.2.若角α的终边落在第一、三象限的角平分线上,则21-sinsin+21-coscos=.3.设sin2α=-sinα,α∈,2,则tan2α的值是.4.已知sin2α=23,那么tan2α+21tan=.5.若θ∈0,4,sin2θ=116,则cosθ-sinθ的值是.6.已知函数f(x)=1-x,当α∈53,42时,式子f(sin2α)-f(-sin2α)可化简为.7.若α∈3,2,化简:111122222cos=.8.(2014·扬州期末)函数y=sin2x+cos2-3x的单调增区间是.二、解答题9.求值:sin2αsin2β+cos2αcos2β-12cos2αcos2β.10.通过观察下列两个等式:1(1)sin230°+sin290°+sin2150°=32;(2)sin25°+sin265°+sin2125°=32.请从中寻找它们的规律,写出一个一般性的结论,并给出证明.11.(2014·四川卷)已知函数f(x)=sin34x.(1)求f(x)的单调增区间;(2)若α是第二象限角,f3=45cos（α+4）cos2α,求cosα-sinα的值.2第26课三角变换1.7252.±23.3解析:由sin2α=-sinα,得cosα=-12,又α∈,2,所以sinα=32,tanα=-3,从而tan2α=3.4.7解析:tan2α+21tan=21tantan-2=2sincoscossin-2=21sincos-2=222sin-2=7.5.154解析:因为θ∈0,4,所以cosθ>sinθ,所以cosθ-sinθ=2(-)cossin=1-2sin=11-16=154.6.2cosα解析:f(sin2α)-f(-sin2α)=1-2sin-12sin=2(-)sincos-2()sincos=|sinα-cosα|-|sinα+cosα|.因为α∈53,42,所以sinα0,所以原式=11-22cos=2sin=sin2.8.5-,1212kk(k∈Z)解析:因为y=1-22cosx+212-32cosx=1-33312-2222cosxsinx=1+32sin2-3x,所以当2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,即kπ-12≤x≤kπ+512(k∈Z)时,函数单调递增,所以函数的单调增区间为5-,1212kk(k∈Z).9.原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β-12·(2cos2α-1)(2cos2β-1)=sin2αsin2β+cos2αcos2β-12(4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1)=sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β-12=sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β-12=sin2β+cos2β-12=1-12=12.10.结论:sin2x+sin2(x+60°)+sin2(x+120°)=32,证明如下:sin2x+sin2(x+60°)+sin2(x+120°)=001-21-(2120)1-(2240)2cosxcosxcosx=32-002(2120)(2-120)2cosxcosxcosx=32-02221202cosxcosxcos=32.11.(1)因为函数y=sinx的单调增区间为-2,222kk,k∈Z,由-2+2kπ≤3x+4≤2+2kπ,k∈Z,得-4+23k≤x≤12+23k,k∈Z.所以函数f(x)的单调增区间为22-,43123kk,k∈Z.(2)由已知得sin4=45cos4(cos2α-sin2α),4所以sinαcos4+cosαsin4=45（cosαcos4-sinαsin4）·(cos2α-sin2α),即sinα+cosα=45(cosα-sinα)2(sinα+cosα).当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,得α=34+2kπ,k∈Z,此时cosα-sinα=-2.当sinα+cosα≠0时,(cosα-sinα)2=54,由α是第二象限角,得cosα-sinα<0,此时cosα-sinα=-52.综上所述,cosα-sinα=-2或-52.5
