高中数学3.2导数在实际问题中的应用同步精练北师大版选修2-21.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为()．A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件2．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为()．A．2m3B．3m3C．4m3D．5m33．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产1单位产品，成品增加100元，已知总收益R与产量x的关系式R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是()．A．100单位B．150单位C．200单位D．300单位4．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于()．A．B．C．D．或5．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则k的取值范围为()．A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－3＜k＜－1或1＜k＜3C．－2＜k＜2D．不存在这样的实数6．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()．A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)7．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值为__________，最小值为__________．8．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝__________.1参考答案1.答案：B解析：∵x＞0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，解得x＝9，∴x∈(0,9)时，y′＞0，x∈(9，＋∞)时，y′＜0，y先增后减，∴x＝9时函数取得最大值．2.答案：B解析：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝(4.5－3x)m.故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3，从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．当0＜x＜1时，V′(x)＞0，当1＜x＜时，V′(x)＜0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极值就是V(x)的最大值．从而最大体积Vmax＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．3.答案：D解析：总成本C(x)＝20000＋100x，∴总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝当0≤x≤400时，令P′(x)＝0，得x＝300，当0＜x＜300时，P′(x)＞0，当300＜x＜400时，P′(x)＜0.∴当x＝300时，总利润最大为25000元．当x＞400时，P′(x)＝－100＜0，∴P(x)＜P(400)＝20000＜P(300)，∴当x＝300时，总利润最大．4.答案：B解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－1＜a＜2时，f(x)在[a,2]上单调递减，最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，2解得a＝或a＝(舍)．5.答案：B解析：∵y′＝3x2－12，由y′＞0得函数增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′＜0得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，∴k－1＜－2＜k＋1或k－1＜2＜k＋1，得－3＜k＜－1或1＜k＜3.6.答案：B解析：∵f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立．又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3，∴a≥－3.7.答案：不存在解析：∵f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.当x＞时，函数是增加的，当－2≤x≤时，函数是减少的，∴在[－2，＋∞)上无最大值．又∵f(－2)＝57，，∴最小值为.8.答案：32解析：f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＞0得x＞2或x＜－2，由f′(x)＜0得－2＜x＜2，∴f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．又∵f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，∴最大值M＝24，最小值m＝－8，∴M－m＝24－(－8)＝32.3
