第四章导数应用(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．使函数f(x)＝x＋cosx在[0，]上取最大值的x为()A．0B.C.D.解析：选B.f′(x)＝1－sinx，所以f(x)在[0，]上是递增的，在[，]上是递减的，所以选B.2．定义在R上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为()A．(－2，－1)∪(1，2)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(0，1)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选C.当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，又xf′(x)<0，所以x∈(－∞，－1)．当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，又xf′(x)<0，所以x∈(0，1)．综上可知解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选C.3．函数f(x)＝x－a在x∈[1，4]上是递减的，则实数a的最小值为()A．1B．2C．3D．4解析：选D.依题意得，当x∈[1，4]时，f′(x)＝1－≤0，即a≥2恒成立．注意到x∈[1，4]时，y＝2的最大值是2＝4，因此，实数a的最小值为4，选D.4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值集合为()A．{a|－1
2}D．{a|a<－3，或a>6}解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数f(x)有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不同实根，即Δ>0，(2a)2－4×3(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.5．若函数f(x)＝x2－mlnx在(，＋∞)内是递增的，则实数m的取值范围是()A．m＝B．00且f(－1)＝0，则f(x)>0解集是()A．(－∞，－1)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D．(－1，0)解析：选C.令F(x)＝xf(x)，由f(x)＋xf′(x)>0知F′(x)>0，F(x)在R上是递增的，又f(－1)＝0，所以F(－1)＝0，当x∈(－∞，－1)时，F(x)＝xf(x)<0，f(x)>0；当x∈(－1，＋∞)时，F(x)＝xf(x)>0，若x∈(－1，0]时，f(x)≤0，若x∈(0，＋∞)时1f(x)>0.故f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．8．已知函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a∈R且a≠0)，g(－1)＝0，且g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)≤0.若方程f(x)＝0有两个实根，则的取值范围为()A．[－，2]B．[，1]C．[－，1]D．[－，3]解析：选C.因为g(x)＝ax3＋bx2＋cx，所以g(－1)＝－a＋b－c＝0，即c＝b－a.又f(x)＝g′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f(0)f(1)≤0，得c(3a＋2b＋c)≤0，所以(b－a)(3b＋2a)≤0.因为a≠0，所以(－1)(3·＋2)≤0，解得－≤≤1.又3ax2＋2bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝(2b)2－4·3a·c＝4b2－12a(b－a)＝4(b－a)2＋3a2>0，满足题意，所以的取值范围是[－，1]．9．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析：选C.当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，则f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝exx－1，所以f′(1)＝e－1≠0，所以f(1)不是极值．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，则f′(x)＝ex(x－1)2＋2(ex－1)(x－1)＝ex(x2－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，所以f′(1)＝0，且当x>1时，f′(x)>0；在x＝1附近的左侧，f′(x)<0，所以f(1)是极小值．10．已知函数f(x)＝|xex|，关于x的方程f2(x)＋tf(x)＋1＝0(t∈R)有四个不等实数根，则t的取值范围为()A．(，＋∞)B．(2，)C．(－，－2)D．(－∞，－)解析：选D.设g(x)＝xex，g′(x)＝ex(1＋x)，当x>－1时，g′(x)>0，g(x)是递增的，当x<－1时，g′(x)<0，g(x)是递减的，且x趋于－∞，g(x)趋于0.g(x)最小＝g(－1)＝－，g(0)＝0，所以f(x)＝y＝|xex|的图像如图，由题意知，f(...
