第三章导数及其应用第16课导数的概念一、填空题1.(2014·全国卷)曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于.2.若曲线y=x2的一条切线的斜率是-4,则该切点的坐标为.3.(2014·全国卷)设函数f(x)=alnx+1-2ax2-bx(a≠1),若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,则b=.4.若曲线y=xa+1(a∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则实数a=.5.(2014·珠海模拟)曲线y=xex在点22,2e处的切线方程为.6.(2014·启东模拟)已知函数f(x)=13x3+bx2+cx+d,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,y=f'(x)为f(x)的导函数,满足f'(2-x)=f'(x),则f(x)=.7.(2014·广东卷)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为.8.(2014·全国卷)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2,那么a=.二、解答题9.(2014·山东卷改编)设函数f(x)=-11xx,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.10.(2014·山东模拟)求曲线y=13x3+x在点41,3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.11.已知曲线y=13x3+43.1(1)求曲线在点(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.2第三章导数及其应用第16课导数的概念1.2解析:y'=ex-1+xex-1,由导数的几何意义,得所求切线的斜率k=y'x1=2.2.(-2,4)3.1解析:f'(x)=ax+(1-a)x-b,由题设知f'(1)=0,即a+1-a-b=0,解得b=1.4.25.y=2e4x解析:y'=x2(x-1)ex,当x=2时,y'=2e4,故曲线y=xex在点2e2,2处的切线方程为y-2e2=2e4(x-2),即y=2e4x.6.f(x)=13x3-x2+x-3解析:f'(x)=x2+2bx+c,因为f'(2-x)=f'(x),所以函数f'(x)的图象关于直线x=1对称,所以b=-1,因为曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,所以切点为(3,0),所以f(3)0,f'(3)4,即3cd0,3c4,解得c=1,d=-3,则f(x)=13x3-x2+x-3.7.y=-5x-2解析:y'=-5ex,故所求切线的斜率k=-5e0=-5,则切线方程为y-(-2)=-5x,即y=-5x-2.8.1解析:f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a则曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2.由题设得-2a=-2,所以a=1.9.f'(x)=22(x1),由题意得f'(1)=12,且f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.310.设y=f(x),则y'=f'(x)=x2+1,在点41,3处的切线的斜率k=f'(1)=2.所以切线方程为y-43=2(x-1),即y=2x-23,与坐标轴的交点坐标为20,-3,1,03,所以所求三角形的面积为12×13×2-3=19.11.(1)因为y'=x2,所以在点P(2,4)处的切线的斜率k=4,所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=13x3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A30014x,x33,则切线的斜率k=y'|0yx=20x,所以切线方程为y-3014x33=20x(x-x0),即y=20xx-302x3+43.因为点P(2,4)在切线上,所以4=220x-302x3+43,解得x0=2或x0=-1,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.4
