2016-2017学年高中数学第2章变化率与导数4导数的四则运算法则课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.D．ln2解析：由已知有f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1，所以f′(x0)＝2⇒lnx0＋1＝2⇒x0＝e.答案：B2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4解析：y′＝[(x＋1)2(x－1)]′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1∴y′|x＝1＝4.答案：D3．曲线f(x)＝x5上一点M处的切线与直线y＝－x＋3垂直，则该切线方程为()A．x－y＋1＝0B．x－y＋5＝0C．5x－5y±4＝0D．不确定解析：设M(x0，y0)，则∴或即切点M或所求切线方程为y±＝x±1即5x－5y±4＝0.答案：C4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.B.C.D.解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝，因为ex＞0，所以由均值不等式得k≥，又k＜0，∴－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以≤α＜π.答案：D二、填空题5．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(1)＝________________.解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.答案：－26．若曲线y＝x3－2x＋a与直线y＝x＋1相切，则常数a＝______________.解析：由y′＝3x2－2＝1得切点为(1,2)和(－1,0)当x＝1时有a－1＝2，∴a＝3当x＝－1时有1＋a＝0，∴a＝－11答案：3或－1三、解答题7．求下列函数的导数：(1)f(x)＝(x＋2)(x－3)；(2)f(x)＝－；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝lgx－3x.解析：(1)因为f(x)＝(x＋2)(x－3)＝x2－x－6，所以f′(x)＝2x－1；(2)因为f(x)＝－，所以f′(x)＝－－＝－＝；(3)因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝；(4)因为f(x)＝lgx－3x，所以f′(x)＝－3xln3.8．已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解析：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率k＝f′(x0)＝2x0，故切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，∵P(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x，∴切线方程为：y－x＝2x0(x－x0)又(3,5)在切线上，将(3,5)代入上式得：5－x＝2x0(3－x0)，解得x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y－1＝2×1×(x－1)或y－25＝2×5×(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.9．设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为点P，且曲线在点P处的切线方程为12x－y－4＝0.若函数在点(2,0)处有水平切线，试确定函数的解析式．解析：∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为P，∴P的坐标为P(0，d)．又∵曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，点P坐标适合方程，从而d＝－4.又∵切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数y′|x＝0＝12，而y′＝3ax2＋2bx＋c，y′|x＝0＝c，从而c＝12.又∵函数在点(2,0)处有水平切线，∴y′|x＝2＝0，y|x＝2＝0.即12a＋4b＋12＝0,8a＋4b＋20＝0，解得a＝2，b＝－9.∴所求函数解析式为y＝2x3－9x2＋12x－4.2
