高考数学总复习 几何证明选讲 第2课时 圆的进一步认识课时训练（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

选修4－1几何证明选讲第2课时圆的进一步认识(理科专用)1.如图，在半径为的圆O中，弦AB、CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，求圆心O到弦CD的距离．解：连结OD，取CD的中点M.则圆心O到弦CD的距离为OM.由相交弦定理得PA·PB＝DP·PC，解得PC＝4，所以MD＝＝.所以OM＝＝＝＝.2.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，求的值．解：设圆的半径为R，则AD＝＝R，OD＝R－R＝R.又OD2＝OE·OC，所以OE＝＝R，CE＝R－R＝R，所以＝8.3.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，分别求PD、AB的值．解：由PD∶DB＝9∶16，可设PD＝9x，DB＝16x.因为PA为圆O的切线，所以PA2＝PDPB，所以32＝9x(9x＋16x)，化为x2＝，所以x＝.所以PD＝9x＝，PB＝25x＝5.因为AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，所以AB⊥PA.所以AB＝＝＝4.4.如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的值．解：连结OA，则∠AOC＝60°，∠OAP＝90°，因为OA＝1，所以PA＝.5.自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA的中点，过M引割线交圆于B、C两点．求证：∠MCP＝∠MPB.证明：∵PA与圆相切于A，∴MA2＝MB·MC.又M为PA的中点，∴PM＝MA，∴PM2＝MB·MC，∴＝.∵∠BMP＝∠PMC，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP＝∠MPB.6.如图，圆O的两条弦AC、BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为E，求证：OE＝CD.证明：连结AO并延长交圆O于F，则AF为圆O的直径，连结BF、CF，则∠ABF＝∠ACF＝90°.∵OE⊥AB，又O为AF的中点，∴E为AB的中点，∴OE＝BF.∵∠ACF＝90°，∴AC⊥CF.又AC⊥BD，∴BD∥CF，则DC＝BF，∴DC＝BF，∴OE＝CD.7.如图，AB是圆O的直径，C、F为圆O上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.求证：DC是圆O的切线．证明：连结OC，所以∠OAC＝∠OCA.又CA平分∠BAF，所以∠OAC＝∠FAC，所以∠FAC＝∠OCA，所以OC∥AD.又CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以DC是圆O的切线．8.如图，圆O1与圆O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E.求证：AB·CD＝BC·DE.证明：因为A、M、D、N四点共圆，所以AC·CD＝MC·CN.同理，有BC·CE＝MC·CN，所以AC·CD＝BC·CE，即(AB＋BC)·CD＝BC·(CD＋DE)，所以AB·CD＝BC·DE.9.如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交CD的延长线于点P，PC＝ED＝1，PA＝2.(1)求AC的长；(2)求证：BE＝EF.(1)解：∵PA2＝PC·PD，PA＝2，PC＝1，∴PD＝4.又PC＝ED＝1，∴CE＝2.∵∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴＝，∴AC2＝PC·AB＝2，∴AC＝.(2)证明：∵BE＝AC＝，CE＝2，而CE·ED＝BE·EF，∴EF＝＝，∴EF＝BE.10.如图，AB是圆O的直径，D、E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC、AE、DE.求证：∠E＝∠C.证明：连结AD.∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BD.∵BD＝DC，∴AD是线段BC的中垂线．∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵D、E为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B＝∠E.∴∠E＝∠C.11.如图所示，AB是圆O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AB的垂线交AC的延长线于点E、交AD的延长线于点F，过G作圆O的切线，切点为H.求证：(1)C、D、F、E四点共圆；(2)GH2＝GE·GF.证明：(1)如图，连结BC.∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AG⊥FG，∴∠AGE＝90°.又∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴∠FDC＝∠AEG.∴∠FDC＋∠CEF＝180°.∴C、D、F、E四点共圆．(2)∵GH为圆O的切线，GCD为割线，∴GH2＝GC·GD.由C、D、F、E四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，∴△GCE∽△GFD.∴＝，即GC·GD＝GE·GF，∴GH2＝GE·GF.