2.3.3等比数列的前n项和A级基础巩固一、选择题1．数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，要使{an}是等比数列，则b的值为()A．0B．1C．－1D．2解析：因为an＝要使{an}成等比数列，则3＋b＝2·31－1＝2，即b＝－1.答案：C2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A.B．－C.D．－解析：⇒答案：C3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝()A．2B．4C.D.解析：S4＝＝15a1，a2＝a1q＝2a1，所以＝.答案：C4．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10)B.(1－3－10)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)解析：由3an＋1＋an＝0得＝－，所以{an}是以－为公比的等比数列．而a2＝－，所以a1＝4，故S10＝＝3(1－3－10)．答案：C5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝()A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶3解析：在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.答案：A二、填空题6．在由正数组成的等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a5＋a6＝________．解析：因为{an}成等比数列，所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．所以(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)．所以a5＋a6＝＝16.答案：167．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公式q＝________．解析：设{an}的公比为q，由已知可得q≠1，1则奇数项也构成等比数列，其公式为q2，首项为a1，S2n＝，S奇＝.由题意得＝，所以1＋q＝3.所以q＝2.答案：28．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1且a4与2a7的等差中项为，则S5＝________．解析：由⇒解得所以S5＝＝31.答案：31三、解答题9．在14与之间插入n个数，组成各项总和为9的等比数列，求该数列的项数．解：插入n个数后，数列共有(n＋2)项，应用求和公式Sn＝，得＝，即77－77q＝112－7q，解得q＝－.应用通项公式an＝a1qn－1，得＝14·qn＋1，qn＋1＝，故得n＝3，所以项数n＋2＝5.所以该数列的项数为5.10．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以数列{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.又因为{bn}为等比数列，所以(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．于是b3＝5，b4＝10，q＝＝2，所以bn＝5·2n－3.(2)由(1)知数列{bn}是首项b1＝，公比q＝2的等比数列，根据等比数列的前n项和公式可知Sn＝＝5·2n－2－.B级能力提升一、选择题11．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)()A．300米B．299米C．199米D．166米解析：小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×＝299≈300(米)．答案：A12．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列bn＝前n项的和为()A．4B．4C．1－D.－解析：因为an＝＝＝，所以bn＝＝＝4.所以Sn＝4＝24.答案：A13．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|.其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④解析：设{an}的公比为q，对于①＝＝q2是常数；对于②，＝＝2an＋1－an不是常数；对于③，＝＝是常数；对于④，＝不是常数．答案：C二、填空题14．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为________．解析：由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．所以a2＝3a3，所以{an}的公比q＝＝.答案：15．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．解析：由题意a1＋a3＝5，a1a3＝4，又{an}是递增数列，所以a1＝1，a3＝4，q2＝＝4，所以q＝...
