高二数学空间的角的计算知识精讲教学目标：能用向量方法解决线线角、线面角、二面角的计算问题一、线线角：两异面直线AB与CD的夹角：例1在正方体中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。练习1.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=，AD∥BC，AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD，PD与底面成角，求异面直线AE与CD所成角的余弦值。二、线面角原理：设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。例2、在正方体中，E是C1C的中点，求BE与平面B1BDD1所成角的余弦值。练习2、在正方体中,F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小。用心爱心专心119号编辑1DClABlPOAPABl三、利用向量求二面角的大小。方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角α-l-β的大小为θ，A，B∈l，ACα，BDβ,AC⊥l，BD⊥l则θ=<,>=<,>方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。如图：已知二面角α-l-β，在α内取一点P，过P作PO⊥β，及PA⊥l,连AO，则AO⊥l成立，∠PAO就是二面角的平面角用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO求出∠PAO。方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量的夹角或夹角的补角。如图（1）P为二面角α-l-β内一点，作PA⊥α，PB⊥β，则∠APB与二面角的平面角互补。用心爱心专心119号编辑2A1xD1B1ADBCC1yzE例3、在正方体中,求二面角大小的余弦值。练习3、已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求二面角大小的余弦值。作业：1、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90º，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点，（I）求BN的长；（II）求异面直线BA1与CB1的夹角；（III）求证：A1B⊥C1M.解析：（I）如图，以C点为原点建立直角坐标系，则B（0，1，0），N（1，0，1），∴||==（II）A1（1，0，2），B1（0，1，2），C（0，0，0）（1，-1，2），（0，1，2），∴cos<，>===故异面直线BA1与CB1的夹角为（III）C1（0，0，2），M（，，2），=（，，0），（-1，1，-2）用心爱心专心119号编辑3∴·=×（-1）+×1+0×（-2）=0∴A1B⊥C1M2、如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点，（Ⅰ）求证平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的正弦值.（Ⅲ）求二面角B—AC—G的大小.解析：如图，以A为原点建立直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）（I）证明：略．（II）由题意可得，，，，设平面AGC的法向量为，由（III）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量，得，∴二面角B—AC—G的大小为．3.、棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，CB与CB1交于点F.（I）求证：A1C⊥平面BDC1；（II）求二面角B—EF—C的大小的余弦值。用心爱心专心119号编辑4解法一：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，则AC是A1C在底面ABCD的射影.∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD.同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,∴A1C⊥平面BDC1.（Ⅱ）取EF的中点H，连结BH、CH，又E、F分别是AC、B1C的中点，解法二：（Ⅰ）以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0).D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)（Ⅱ）同（I）可证，BD1⊥平面AB1C.用心爱心专心119号编辑5用心爱心专心119号编辑6
