第五节两角和与差、二倍角的正弦、余弦和正切公式课时作业练1.(2018南通高三第二次调研)在平面直角坐标系xOy中,已知角α,β的始边均为x轴的正半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan(α-β)的值为.答案97解析由题意得tanα=2,tanβ=15,则tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2-151+25=97.2.若α∈(π2,π),且3cos2α=sin(π4-α),则sin2α=.答案-1718解析由3cos2α=sin(π4-α)可得3(cos2α-sin2α)=√22(cosα-sinα),又由α∈(π2,π)可知cosα-sinα≠0,于是3(cosα+sinα)=√22,所以1+2sinαcosα=118,故sin2α=-1718.3.cos85°+sin25°cos30°cos25°=.答案12解析原式=sin5°+√32sin25°cos25°=sin(30°-25°)+√32sin25°cos25°=12cos25°cos25°=12.4.在平面直角坐标系中,已知角α+π4的终边经过点P(3,4),则cosα=.答案7√210解析由题意可得sin(α+π4)=45,cos(α+π4)=35,则cosα=cos[(α+π4)-π4]=35×√22+45×√22=7√210.15.(2018江苏高考信息预测卷(二))若sin(x+π4)=-45,则sin2x的值为.答案725解析 sin(x+π4)=-45,∴cos[2(x+π4)]=1-2sin2(x+π4)=1-2×1625=-725,即cos(2x+π2)=-725,∴-sin2x=-725,∴sin2x=725.6.若tan(α+β)=1,tan(α-β)=2,则sin2αcos2β=.答案1解析 tan(α+β)=1,tan(α-β)=2,∴sin2αcos2β=sin[(α+β)+(α-β)]cos[(α+β)-(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=tan(α+β)+tan(α-β)1+tan(α+β)tan(α-β)=33=1.7.已知α,β为锐角,且tanα=17,cos(α+β)=2√55,则cos2β=.答案45解析因为α为锐角,tanα=17,所以sinα=√210,cosα=7√210.又β为锐角,所以α+β∈(0,π).因为cos(α+β)=2√55,所以sin(α+β)=√55,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=2√55×7√210+√55×√210=3√1010,则cos2β=2cos2β-1=2×910-1=45.8.(2018常州教育学会学业水平检测)已知sin(π2-α)=35,且α为第四象限角,求下列各式的值:(1)tan(α-π4);(2)2sin2α+sin2αcos2α.2解析(1) sin(π2-α)=cosα=35,α为第四象限角,∴sinα=-√1-cos2α=-45,∴tanα=sinαcosα=-43,∴tan(α-π4)=tanα-11+tanα=-43-11+(-43)=7.(2)2sin2α+sin2αcos2α=2sin2α+2sinαcosαcos2α-sin2α=2sinαcosα-sinα=2tanα1-tanα=2×(-43)1-(-43)=-87.9.(2018盐城伍佑中学秋学期期末)已知α∈(0,π2),β∈(π2,π),cosβ=-13,sin(α+β)=4-√26.(1)求tan2β的值;(2)求α的值.解析(1) β∈(π2,π),cosβ=-13,∴sinβ=2√23,∴tanβ=-2√2,则tan2β=2tanβ1-tan2β=4√27.(2)由α∈(0,π2),β∈(π2,π),得α+β∈(π2,3π2),又sin(α+β)=4-√26,∴cos(α+β)=-√1-sin2(α+β)=-4+√26,∴cosα=cos(α+β-β)=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=√22.3 α∈(0,π2),∴α=π4.10.已知α∈(π2,π),且sinα2+cosα2=√62.(1)求cosα的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈(π2,π),求cosβ的值.解析(1)因为sinα2+cosα2=√62,所以两边同时平方,得sinα=12.又π2<α<π,所以cosα=-√32.(2)因为π2<α<π,π2<β<π,所以-π<-β<-π2,故-π2<α-β<π2.又sin(α-β)=-35,故cos(α-β)=45,所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=-√32×45+12×(-35)=-4√3+310.11.(2019江苏苏州模拟)已知cos(π6+α)·cos(π3-α)=-14,α∈(π3,π2).(1)求sin2α的值;(2)求tanα-1tanα的值.解析(1)cos(π6+α)·cos(π3-α)4=cos(π6+α)·sin(π6+α)=12sin(2α+π3)=-14,即sin(2α+π3)=-12. α∈(π3,π2),∴2α+π3∈(π,4π3),∴cos(2α+π3)=-√32,∴sin2α=sin[(2α+π3)-π3]=sin(2α+π3)cosπ3-cos(2α+π3)sinπ3=12.(2) α∈(π3,π2),∴2α∈(2π3,π).又由(1)知sin2α=12,∴cos2α=-√32,∴tanα-1tanα=sinαcosα-cosαsinα=sin2α-cos2αsinαcosα=-2cos2αsin2α=(-2)×-√3212=2√3.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.集合M={x|x2<3x},N={x|x3≤8},则M∩N=.5答案{x|00的解集是实数集R;命题...
