【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第十四章系列4选讲14.2矩阵与变换理INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\2016\\一轮\\幻灯片\\数学\\江苏\\基础知识自主学习.tif"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\2016\\一轮\\幻灯片\\数学\\江苏\\知识梳理.TIF"\*MERGEFORMATINET1．乘法规则(1)行矩阵[a11a12]与列矩阵的乘法规则：[a11a12]＝[a11×b11＋a12×b21]．(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：＝.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：＝.(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．2．常见的平面变换(1)恒等变换：如；(2)伸压变换：如；(3)反射变换：如；(4)旋转变换：如，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如，；(6)切变变换：如(k∈R，且k≠0)．3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.4．特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．5．特征多项式设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc，称为A的特征多项式．INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\2016\\一轮\\幻灯片\\数学\\江苏\\考点自测2.tif"\*MERGEFORMATINET11．已知A＝，B＝，求AB.解AB＝＝＝.2．设A＝，B＝，求AB的逆矩阵．解 A－1＝，B－1＝，∴(AB)－1＝B－1A－1＝＝.3．求矩阵M＝的特征值．解f(λ)＝＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0.∴λ1＝0，λ2＝3.∴M的特征值为0和3.INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\2016\\一轮\\幻灯片\\数学\\江苏\\题型分类深度剖析.tif"\*MERGEFORMATINET题型一矩阵与变换例1已知a，b是实数，如果矩阵M＝所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．解设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，则＝，所以因为点(x′，y′)在直线x＋2y＝1上，所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即所以思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解．INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\2016\\一轮\\幻灯片\\数学\\江苏\\跟踪训练1.TIF"\*MERGEFORMATINET二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．解(1)设M＝，则有＝，＝，所以且解得所以M＝.(2)因为＝＝，且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，整理得x＋y＋2＝0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.题型二求逆矩阵例2(2015·福建)已知矩阵A＝，B＝.(1)求A的逆矩阵A－1；(2)求矩阵C，使得AC＝B.解(1)因为|A|＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝＝.2(2)由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故C＝A－1B＝＝.思维升华求逆矩阵的方法：(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵，AB＝BA＝E；(2)公式法|A|＝＝ad－bc≠0，有A－1＝.INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\2016\\一轮\\幻灯片\\数学\\江苏\\跟踪训练2.TIF"\*MERGEFORMATINET已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.解设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝.题型三特征值与特征向量例3已知矩阵A的逆矩阵A－1＝.(1)求矩阵A；(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解(1)因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A＝＝.(2)矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．思维升华已知A＝，求特征值和特征向量的步骤：(1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；(2)列方程组(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量．INCLUDEPIC...
