高中数学 第三章 变化率与导数 3.3 计算导数作业2 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

3.3计算导数[A.基础达标]1．下列运算正确的是()A．(x5)′＝x5ln5B．(lgx)′＝C．(π5)′＝5π4D．(log2x)′＝解析：选D.对A，(x5)′＝5x4，不正确；对B，(lgx)′＝＝，不正确；对C，(π5)′＝0，不正确；对D，(log2x)′＝，正确．2．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于()A．4B．－4C．5D．－5解析：选A.由f(x)＝xa，可得f′(x)＝axa－1，所以f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，所以a＝4.3．已知f(x)＝lnx，则f(1)＋f′(1)＝()A．1B．－2C．0D．2解析：选A.f(1)＝ln1＝0，f′(x)＝，f′(1)＝1，所以f(1)＋f′(1)＝0＋1＝1.4．如果函数f(x)＝x2，g(x)＝x3，f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝()A.B.C.D．不存在解析：选C.f′(x)－g′(x)＝2x－3x2＝－2，所以x＝，所以选C.5．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()A．f(x)＝exB．f(x)＝x3C．f(x)＝lnxD．f(x)＝sinx解析：选D.若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1，因为A项中，(ex)′＝ex＞0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x＞0，即(lnx)′＝＞0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.6．若f(x)＝tanx，f′(x0)＝1，则x0的值为________．解析：因为f′(x)＝(tanx)′＝，f′(x0)＝1，所以cosx0＝±1，所以x0＝kπ，k∈Z.答案：kπ，k∈Z7．若指数函数f(x)＝ax(x＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln27，则f′(－1)＝________.解析：f′(x)＝axlna，f′(1)＝alna＝3ln3，所以a＝3，故f′(－1)＝3－1ln3＝.答案：8．设余弦曲线y＝cosx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．解析：kl＝(cosx)′＝－sinx∈[－1，1]，又倾斜角范围是[0，π)，所以直线l的倾斜角范围是[0，]∪[，π)．答案：[0，]∪[，π)9．求曲线y＝与抛物线y＝的交点坐标，并分别求在交点处的两曲线的切线的斜率．解：由，得＝，所以x3＝1，所以x＝1，y＝1，所以两曲线的交点坐标为(1，1)．由y＝，得y′＝(x－1)′＝－x－2，所以该曲线在点(1，1)处的切线的斜率k1＝－1.又由y＝，得y′＝(x)′＝x－，所以该曲线在点(1，1)处的切线的斜率k2＝.10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－a，试求常数a的值，使f′(x)＝0且f(x)＝0.解：f′(x)＝lim＝lim＝lim＝lim(3x2＋2ax＋3x(Δx)＋(Δx)2＋a(Δx))＝3x2＋2ax.令f′(x)＝0，得x＝0或－a.由题设知：当x＝0时，f(0)＝0，所以－a＝0，所以a＝0；当x＝－a时，f＝0，所以＋a－a＝0，所以a(a2－9)＝0，所以a＝0或a＝±3.故当a＝0或±3时，f′(x)＝0且f(x)＝0.[B.能力提升]11．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn等于()A.B.C.D．1解析：选B.因为f′(x)＝(n＋1)xn，所以f′(1)＝n＋1，过(1，1)的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得x＝，即xn＝，故x1·x2·…·xn＝×××…×＝.2．已知函数f(x)＝x2的图像在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是()A.B．(0，－4)C．(2，3)D.解析：选D.由题意知，A(x1，x)，B(x2，x)，f′(x)＝2x，则在A，B两点处的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2.又因为两切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x，l2：y＝2x2x－x，联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0.因为x1≠x2，所以x＝，代入l1，解得y＝x1x2＝－，故选D.3．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析：设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝＝ln＝－e－x.所以在P点处的切线斜率为－e－x0，由题意－e－x0＝－2，即e－x0＝2，x0＝－ln2，y0＝e－x0＝eln2＝2，故点P的坐标为(－ln2，2)．答案：(－ln2，2)4．设函数f(x)＝D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．解析：f(x)在(1，0)处的切线方程为y＝x－1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z＝x－2y的最优解(0，－1)，即z的最大值为2.答案：25．求证双曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．证明：由xy＝1，得y＝，所以y′＝－.在双曲线xy＝1上任取一点P，则在点P处的切线斜率k＝－.切线方程为y－＝－(x－x0)...