课时分层作业(十九)(建议用时：40分钟)一、选择题1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条D[x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2,0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2,0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.]2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离B[法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)． 圆M截直线所得线段长度为2，∴＝2.又a>0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝＝. r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．法二： x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)，r1＝a.依题意，有＝，解得a＝2.以下同法一．]3．已知半径为1的动圆与定圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9D[动圆可能在定圆的外部，也可能在定圆的内部，根据题意知，动圆圆心的轨迹应是(x－5)2＋(y＋7)2＝16的同心圆，半径分别为3和5，故应选D.]4．已知⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且|AB|＝4，则⊙O1的方程为()A．(x－4)2＋y2＝20B．(x－4)2＋y2＝50C．(x－5)2＋y2＝20D．(x－5)2＋y2＝50C[根据题意，⊙O的圆心O为(0,0)，半径为.⊙O1的圆心O1(a,0)，半径为r. ⊙O与⊙O1相交于A，B两点，且两圆在A点处的切线互相垂直，∴()2＋r2＝a2.①1又由|AB|＝4，则××|OO1|＝××r，即|a|＝r.②由①②得5＋r2＝，解得r2＝20，a＝5.故⊙O1的方程为(x－5)2＋y2＝20.]5．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是()A．60°B．45°C．120°D．90°D[圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)，半径为r＝2.圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为r＝2.圆心距为d＝＝2，弦心距d′＝＝.设公共弦所对的圆心角是2θ，则cosθ＝＝，∴θ＝45°，∴2θ＝90°.故选D.]二、填空题6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．a2＋b2＞3＋2[由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆外离，所以＞＋1，即a2＋b2＞3＋2.]7．已知两圆(x＋2)2＋(y－2)2＝4和x2＋y2＝4相交于M，N两点，则|MN|＝________.2[由题意可知直线MN方程为：(x＋2)2＋(y－2)2－x2－y2＝0，即MN：x－y＋2＝0.圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2则圆心(0,0)到x－y＋2＝0的距离d＝＝.所以|MN|＝2＝2×＝2.]8．过原点O作圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为________．x＋2y－8＝0[把圆的方程化成标准方程(x－2)2＋(y－4)2＝4∴圆心为(2,4)，半径为2.圆心到原点的距离为＝2.∴切线长为＝4，∴P，Q在以(0,0)为圆心，以4为半径的圆上，方程为x2＋y2＝16.由得x＋2y－8＝0.这就是PQ所在直线的方程．]三、解答题9．求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长.[解]设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标是方程组的解，两式相减得x＋y－1＝0.因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d＝，由条件知r2－d2＝－＝，所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×＝.10．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程．[解]由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0. 圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，2圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为＝，即x＋y＋2＝0.过两圆...
