课时分层作业(十五)向量的减法(建议用时：40分钟)一、选择题1．在平行四边形ABCD中，AC－AD等于()A．ABB．BAC．CDD．DBA[AC－AD＝DC＝AB.]2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A．AB－DC＝0B．AD－BA＝ACC．AB－AD＝BDD．AD＋CB＝0C[∵AB＝DC，∴AB－DC＝0，A正确；∵AD－BA＝AD＋AB＝AC，B正确；∵AB－AD＝AB＋DA＝DB，C错误；∵AD＝BC，∴AD＝－CB，∴AD＋CB＝0，D正确．]3.如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，则()A．AD＋BE＋CF＝0B．BD－CF＋DF＝0C．AD＋CE－CF＝0D．BD－BE－FC＝0A[AD＋BE＋CF＝AB＋AC＋BA＋BC＋CA＋CB＝0.]4．在边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为()A．1B．2C．D．D[如图，作菱形ABCD，则|AB－BC|＝|AB－AD|＝|DB|＝.]5．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A．EF＝OF＋OEB．EF＝OF－OEC．EF＝－OF＋OED．EF＝－OF－OE[答案]B二、填空题6．已知OA＝a，OB＝b，若|OA|＝12，|OB|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．13[∵|OA|＝12，|OB|＝5，∠AOB＝90°，∴|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，∴|AB|＝13.1∵OA＝a，OB＝b，∴a－b＝OA－OB＝BA，∴|a－b|＝|BA|＝13.]7.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA－BC－OA＋OD＋DA＝________．[答案]CA8．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是______．30°[设OA＝a，OB＝b，则a－b＝BA，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴|OA|＝|OB|＝|BA|，∴△OAB是等边三角形，∴∠BOA＝60°.∵OC＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA.∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.]三、解答题9.如图所示，在正五边形ABCDE中，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EA＝e，求作向量a－c＋b－d－e.[解]a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)＝(AB＋BC)－(CD＋DE＋EA)＝AC－CA＝AC＋AC.如图，连接AC，并延长至点F，使CF＝AC，则CF＝AC.所以AF＝AC＋AC，即为所求的向量a－c＋b－d－e.10.如图所示，已知在矩形ABCD中，AD＝4，设AB＝a，BC＝b，BD＝c.试求|a＋b＋c|.[解]a＋b＋c＝AB＋BC＋BD＝AC＋BD.延长BC至E，使CE＝BC，连接DE.由于CE＝BC＝AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE，∴AC＋BD＝DE＋BD＝BE，∴|a＋b＋c|＝|BE|＝2|BC|＝2|AD|＝8.21．平面内有四边形ABCD和点O，若OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状是()A．梯形B．平行四边形C．矩形D．菱形B[因为OA＋OC＝OB＋OD，所以OA－OB＝OD－OC.即BA＝CD，又A，B，C，D四点不共线，所以|BA|＝|CD|，且BA∥CD，故四边形ABCD为平行四边形．]2．若|AB|＝5，|AC|＝8，则|BC|的取值范围是()A．[3，8]B．(3，8)C．[3，13]D．(3，13)C[∵|BC|＝|AC－AB|，且||AC|－|AB||≤|AC－AB|≤|AC|＋|AB|.∴3≤|AC－AB|≤13.∴3≤|BC|≤13.]3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|BC|＝4，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________．2[以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，AD＝AB＋AC，CB＝AB－AC，∵|AB＋AC|＝|AB－AC|，∴|AD|＝|CB|，又|BC|＝4，M是线段BC的中点，∴|AM|＝|AD|＝|BC|＝2.]4．如图，在正六边形ABCDEF中，与OA－OC＋CD相等的向量有________．①CF；②AD；③BE；④DE－FE＋CD；⑤CE＋BC；⑥CA－CD；⑦AB＋AE.①④[因为四边形ACDF是平行四边形，所以OA－OC＋CD＝CA＋CD＝CF，DE－FE＋CD＝CD＋DE＋EF＝CF，CE＋BC＝BC＋CE＝BE，CA－CD＝DA，因为四边形ABDE是平行四边形，所以AB＋AE＝AD，综上知与OA－OC＋CD相等的向量是①④.]5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．[解]在平面内任取一点A，作AD＝a，AB＝b，则AC＝a＋b，BD＝a－b.由题意，知|AB|＝|BD|＝2，|AD|＝1.3如图所示，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB的延长线于F.∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.在△ABE中，cos∠EAB＝＝，在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，∴cos∠CBF＝，∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝，∴CF＝，∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.在Rt△AFC中，AC＝＝＝，∴|a＋b|＝.4
