第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业练1.已知两圆x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为,公共弦长为.答案2x+y-5=0;2√30解析两圆的方程相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x+y-5=0.圆心(5,5)到直线2x+y-5=0的距离为10√5=2√5,弦长的一半为√50-20=√30,故公共弦长为2√30.2.若直线l与圆x2+(y+1)2=4相交于A,B两点,且线段AB的中点坐标是(1,-2),则直线l的方程为.答案x-y-3=0解析圆心坐标为(0,-1),由已知可求得线段AB的垂直平分线的斜率为-1,则直线l的斜率为1,从而可得直线l的方程为y+2=x-1,即x-y-3=0.3.已知直线l1与直线l2:3x+4y-6=0平行且与圆:x2+y2+2y=0相切,则直线l1的方程是.答案3x+4y-1=0或3x+4y+9=0解析圆x2+y2+2y=0的圆心为(0,-1),半径为1,因为直线l1∥l2,所以可设直线l1的方程为3x+4y+c=0(c≠-6).由题意得|3×0+4×(-1)+c|√32+42=1,解得c=-1或c=9.所以直线l1的方程为3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.4.若a2+b2=2c2(c≠0),则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为.答案√2解析圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d=|c|√a2+b2=|c|√2|c|=√22,因此弦长的一半为√12-(√22)2=√22.所以弦长为√2.15.(2019江苏无锡高三模拟)过圆x2+y2=16内一点P(-2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD,且AB=CD,则四边形ACBD的面积为.答案19解析由AB=CD得圆心到两条直线的距离相等,即d1=d2=√22OP=√262,则AB=CD=2√16-132=√38,则四边形ACBD的面积为12AB·CD=12×38=19.6.(2018江苏南京高三调研)在平面直角坐标系xOy中,若圆(x-2)2+(y-2)2=1上存在点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上,则实数k的最小值为.答案-43解析圆(x-2)2+(y-2)2=1上的点M关于x轴的对称点N在圆(x-2)2+(y+2)2=1上,又点N在直线kx+y+3=0上,则直线kx+y+3=0与圆(x-2)2+(y+2)2=1有公共点,则|2k+1|√k2+1≤1,解得-43≤k≤0,则实数k的最小值为-43.7.(2018苏北四市高三第一次调研测试)在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在点P,且点P关于直线x-y=0的对称点Q在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是.答案[√2-1,√2+1]解析圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1关于直线x-y=0的对称圆C3:(x-1)2+(y-2)2=1,则圆C3与圆C1有公共点,则|r-1|≤C1C3=√2≤r+1,解得√2-1≤r≤√2+1.8.(2018江苏海安高级中学高三月考)已知A,B是圆O:x2+y2=1上的动点,AB=√2,P是直线x+y-2=0上的动点,则|⃗PA+⃗PB|的最小值为.答案√2解析取AB的中点D,由AB=√2得OD=√22,即点D在圆x2+y2=12上,圆心到直线x+y-2=0的距离为√2,则|⃗PA+⃗PB|=2|⃗PD|≥2(√2-√22)=√2,故|⃗PA+⃗PB|的最小值是√2.29.(2018徐州铜山高三模拟)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)及圆上的点A(-r,0),过点A的直线l交y轴于点B(0,1),交圆于另一点C,若AB=2BC,则直线l的斜率为.答案√33或√3解析过点A的直线l交y轴于点B(0,1),交圆于另一点C,AB=2BC,则⃗AB=2⃗BC或⃗AB=-2⃗BC,则C(r2,32)或C(-r2,12),由点C在圆O:x2+y2=r2(r>0)上得r24+94=r2,r=√3或r24+14=r2,r=√33,则A(√3,0)或(-√33,0),则直线l(即直线AB)的斜率为√33或√3.10.(2018江苏海安高级中学高三上学期阶段测试)已知圆O:x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A,点P在直线l:√3x+y-a=0上,过点P作圆O的切线,切点为T.(1)若a=8,切点T(√3,-1),求直线AP的方程;(2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.解析(1)由题意得,直线PT切☉O于点T,则OT⊥PT,又切点T的坐标为(√3,-1),所以kOT=-√33,kPT=-1kOT=√3.故直线PT的方程为y+1=√3(x-√3),即√3x-y-4=0.所以{√3x-y-4=0,√3x+y-8=0.解得{x=2√3,y=2,即P(2√3,2).又A(-2,0),所以直线AP的斜率k=2-02√3+2=1√3+1=√3-12.故直线AP的方程为y=√3-12(x+2),即x-(√3+1)y+2=0.(2)设P(x,y),由PA=2PT,可得(x+2)2+y2=4(x2+y2-4),即3x2+3y2-4x-20=0,3所以满足PA=2PT的点P的轨迹是圆(x-23)2+y2=649.所以圆心到直线l的距离d=|√3×23-a|√(√3)2+1≤83,即|2√33-a|≤163.解得-16+2√33≤a≤16+2√33.所以实数a的取值范围是(-16+2√33,16+2√33).11.已知圆x2+y2-4x+2y-3=0和圆外一点M(4,-8).(1)过M作直线交圆于A、B两点,若|AB|=4,求直线AB的方程;(2)过M作圆的切线,切点分别为C、D,求切线长及CD所在直线的方程.解...
