(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上)1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是________．解析：设抛物线y2＝mx，将点P(2,4)代入抛物线方程，∴m＝8，∴方程为y2＝8x.答案：y2＝8x2．(2011年南通模拟)椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知，解得，∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.答案：＋＝1或＋＝13．以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．解析：由题意知圆心坐标应为(5,0)．又因为点(5,0)到渐近线y＝±x的距离为4，所以圆的方程为x2＋y2－10x＋9＝0.答案：x2＋y2－10x＋9＝04．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，若P为双曲线上任意一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围为________．解析：设P(x0，y0)， |PF1|＝e＝ex0＋a，|PF2|＝e＝ex0－a，又|PF1|＝2|PF2|，∴ex0＋a＝2(ex0－a)，即e＝. x0≥a，∴e≤3.又 e>1，∴10，n>0，故a＝，b＝，所以c＝.所以e＝＝2.①又＝1，②由①②得所以mn＝.答案：6．设A、B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，OA⊥OB，A点的横坐标是－1，则B点的横坐标为________．解析：据题意可知A(－1，)，故OA＝(－1，)，设B(x0，)，故OB＝(x0，)，则OA⊥OB⇔OA·OB＝0，即(－1，)·(x0，)＝－x0＋＝0⇒x0＝16.答案：167．已知双曲线的方程是－＝1，则以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是________，抛物线的准线方程是________．解析：由双曲线方程－＝1可知，焦点在x轴上，a＝2，所以右顶点坐标是(2，0)，即抛物线的焦点F(2，0)．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．由＝2得p＝4.∴所求抛物线方程为y2＝8x，准线方程为x＝－2.答案：y2＝8xx＝－28．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．解析：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则(m－1)2>m2>0.∴m<且m≠0.∴所求实数m的取值范围为(－∞，0)∪.答案：(－∞，0)∪9．若双曲线＋＝1(k≠0)的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________．解析：显然k<0，所以e＝∈(1,2)，解得－12n>0)和双曲线－＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是________．解析：取P在双曲线的右支上，则∴∴|PF1|·|PF2|＝(＋)(－)＝m－a.答案：m－a11．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则△F1PF2的周长为________．解析：由双曲线的渐近线方程3x－2y＝0，可知a＝2，故|F1F2|＝2；又||PF1|－|PF2||＝4，∴|PF2|＝7，故△F1PF2的周长为2＋7＋3＝2＋10.答案：2＋1012．点P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，△PF1F2的内切圆半径为，则当点P在x轴上方时，点P的纵坐标为________．解析：△PF1F2的周长l＝2a＋2c＝16，S△PF1F2＝lR＝·2c·y0，∴16×＝6y0，∴y0＝4.答案：413．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C.若CB＝2BF，则直线AB的斜率为________．解析：如图，当倾斜角是锐角时，过B作BG⊥l，则BG＝BF，∴＝.∴∠GCB＝30°，∴θ＝∠GBC＝60°.∴k＝.依对称性知k＝－时适合题意．答案：±14．过原点的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，F1，F2为椭圆的焦点，则四边形AF1BF2的面积的最大值是________．解析：如图所示，四边形AF1BF2的面积等于S△AF1F2＋S△BF1F2，当点A，B分别与短轴的两个端点重合时，它们的面积最大(F1F2为底)，则四边形AF1BF2的面积的最大值为2××2c×b＝2bc＝8.答案：8二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知双曲线中心在原点，且一个...
