4.2.2最大值、最小值问题(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件【解析】因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．【答案】C2．(2016·黄山高二检测)函数y＝()A．有最大值2，无最小值B．无最大值，有最小值－2C．最大值为2，最小值为－2D．无最值【解析】y′＝＝.令y′＝0，得x1＝1，x2＝－1，且当－1＜x＜1时，y′＞0；当x＜－1或x＞1时，y′＜0，∴最大值是f(1)＝2，最小值是f(－1)＝－2.【答案】C3．函数y＝的最大值为()A.B．eC．e2D.【解析】令y′＝＝＝0.解得x＝e.当x>e时，y′<0；当00.y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.【答案】A4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．－5B．－11C．－29D．－37【解析】由f′(x)＝6x2－12x>0，得x<0或x>2，由f′(x)<0，得00，x∈(40,60)时，V′(x)<0，∴x＝40时，V(x)有极大值也是最大值．【答案】408．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.【解析】 f′(x)＝3x2－3，∴当x>1或x<－1时，f′(x)>0；当－10恒成立，即函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增，故当x＝－1时，函数f(x)取得最小值f(－1)＝－20；当x＝1时，函数f(x)取得最大值f(1)＝－6.10．一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？【解】设船的速度为x(x>0)时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103可得k＝，∴Q＝x3.∴总费用y＝·＝x2＋，y′＝x－，令y′＝0得x＝20.当x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，∴当x＝20时，y取得最小值．∴此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小．2[能力提升]1．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)【解析】 f(x)＝ax－lnx，f(x)>1在(1，＋∞)内恒成立，∴a>在(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝，∴x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝<0，即g(x)在(1，＋∞)上是减少的，∴g(x)
