第一章集合与常用逻辑用语第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.“x>0”是“x≠0”的________条件．答案：充分而不必要解析：对于“x>0”“x≠0”；反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．2.已知命题p：n∈N，2n＞1000，则綈p为__________．答案：n∈N，2n≤10003.命题“x∈R，使得xsinx－1≤0”的否定是____________．答案：x∈R，使得xsinx－1>0解析：直接改写，原命题的否定为“x∈R，使得xsinx－1>0”．4.已知a、b、c是非零实数，则“a、b、c成等比数列”是“b＝”的________(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分又不必要”)条件．答案：必要不充分解析：若非零实数a、b、c成等比数列，则b2＝ac，即b＝±，∴非零实数a、b、c成等比数列是b＝的必要不充分条件．5.已知命题p：若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零．命题q：若a>b，则<.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③非p；④非q.其中真命题是________．(填序号)答案：②④解析：命题p为真命题．若a＝2>b＝－1，而＝>＝－1，命题q为假命题．由真值表可知，p或q、非q为真命题．6.已知a、b、c、d为实数，且c>d.则“a>b”是“a－c>b－d”的________条件．答案：必要而不充分解析：显然充分性不成立．又若a－c>b－d和c>d都成立，则同向不等式相加得a>b，即由“a－c>b－d”“a>b”．7.“a≥”是“对x是正实数，2x＋≥c”的充要条件，则实数c＝________．答案：1解析：若c<0，则a≥0，不符合题意；若c>0，≥c－2x，根据x是正数，有a≥cx－2x2，∵y＝cx－2x2在x是正数时，值域是y≤－2×＋c×＝，则a≥，于是＝c＝1.8.存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值范围是________．答案：(－∞，0)∪解析：由题意知只需满足相应方程x2－4bx＋3b＝0的判别式Δ>0，则4b2－3b>0，解得b<0或b>.9.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．解：(1)逆命题：两个三角形相似，则它们全等，为假命题；否命题：两个三角形不全等，则它们不相似，为假命题；逆否命题：两个三角形不相似，则它们不全等，为真命题．(2)逆命题：能被5整除的自然数末位数字是零，为假命题；否命题：末位数字不是零的自然数不能被5整除，为假命题；逆否命题：不能被5整除的自然数末位数字不是零，为真命题.10.设条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：条件p为：≤x≤1，条件q为：a≤x≤a＋1.p对应的集合A＝，q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x
1且a≤或a＋1≥1且a<.∴0≤a≤.故a的取值范围为.11.已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，集合B为函数y＝x2－2x＋a的值域，集合C＝{x|x2－ax－4≤0}，命题p：A∩B≠；命题q：AC.(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．解：(1)A＝[1，2]，B＝[a－1，＋∞)，若p为假命题，则A∩B＝，故a－1>2，即a>3.故a的取值范围为(3，＋∞)．(2)若命题p∧q为真命题，则p和q都为真命题．命题p为真，则a≤3.命题q为真，即转化为当x∈[1，2]时，f(x)＝x2－ax－4≤0恒成立．(解法1)由解得a≥0.(解法2)当x∈[1，2]时，a≥x－恒成立，而x－在[1，2]上单调递增，故a≥＝0.综上，a的取值范围为[0，3]．
