高二数学－1第四章第1节函数的单调性与极值北师大版选修1【本讲教育信息】一、教学内容第四章第1节函数的单调性与极值二、教学目标1、理解可导函数的单调性与其导数的关系；2、理解并掌握极值的概念。了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分必要条件。3、能利用函数导数判断简单函数的单调性，会求简单的函数的单调区间和极值。三、教学重、难点函数的单调性与其导数的关系的理解、极值的概念的理解是教学的重点，判断函数的单调性，求函数的极值是教学的难点。四、知识要点分析：（一）函数的单调性与函数的导数的关系函数。某个区间内，函数f（x）的导数f（x）>0，则在这个区间上f（x）单调递增。某个区间内，函数f（x）的导数f（x）<0，则在这个区间上f（x）单调递减。反之，某个区间内，函数f（x）单调递增，则在这个区间上f（x）的导数f（x）≥0；某个区间内，函数f（x）单调递减，则在这个区间上f（x）的导数f（x）≤0例如函数f（x）=x3，在R上单调递增，其导函数在R上，f（x）≥0.（二）求可导函数y=f（x）的单调区间的步骤：（1）确定函数定义域（2）求f（x）并将f（x）通分或分解因式，将之化为乘积或商的形式。（3）解不等式f（x）≥0（或f（x）≤0）（4）确认并写出单调区间（三）极值的定义：一般地，设函数)(xfy在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说f（）是函数)(xfy的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说f（）是函数)(xfy的一个极小值。极大值与极小值统称极值。取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：（让同学讨论）（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较时是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内，极大值或极小值可以不止一个。用心爱心专心（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，是极大值点，是极小值点，而>。（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（四）函数在某点取得极值的条件：如果函数在x0左侧单调递增，右侧单调递减，且在x0处有意义，则函数在x0处一定有极大值，反之如果函数在x0左侧单调递减，右侧单调递增，且在x0处有意义，则函数在x0处一定有极小值。即函数在x0处取得极值的充分必要条件是：函数在x0处有意义，且在x0处左右两侧的单调性相反。也就是在x0处左右两侧的导数符号相反。可导函数f（x）在点x0处的导数为0是f（x）在x0处取得极值的必要不充分条件。即对于可导函数，函数在x0处有极值，则f（x0）=0，并且只能在导数为零的点处取得极值，所以我们可以把所有的导数为零的点求出来，然后判断该点是不是取得极值即可，也就是判断该点左右两侧导函数的符号是不是相反即可。（五）求函数极值的步骤：（1）求出函数定义域（2）求f（x）并将f（x）通分或分解因式，将之化为乘积或商的形式。（3）令f（x）=0，解得方程的解。（4）用方程的解将函数的定义域分割成若干区间，列表讨论各个区间内f（x）的符号，利用f（x）的符号判断函数的单调性，并依据单调性判断使f（x）=0的这些点是不是极值点，是极大值点还是极小值点，并求出极值。这里对于简单问题可以不列表，对于复杂问题列表可以使人一目了然。【典型例题】考点一：函数单调性的判断、求函数的单调区间。例1.求函数f（x）=3x2－2lnx的单调增区间和单调减区间。解：f（x）=3x2－2lnx函数定义域为（0，+∞）用心爱心专心注意：（1）函数f（x）的单调递增区间就是满足f（x）≥0的区间，函数f（x）的单调递减区间就是满足f（x）≤0的区间；（2）研究函数单调性一定要在定义域内研究，所以先求出定义域，在定义域内解不等式。（3）对于比较复杂的函数，列表讨论比较简单明了。例2.求函数的单调区间。解：用x1和x2将定义域（－∞，0）∪（0，+∞）分割成四个小区...
