选修4—5不等式选讲1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式．(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c.3．理解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．4．了解算术—几何平均不等式与柯西不等式．1．含___________的不等式叫做绝对值不等式．|x－a|的几何意义：数轴上表示数x与a的两点间的______．2．解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)__________：根据|f(x)|＝去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：|ax＋b|≤c(c＞0)⇔________；|ax＋b|≥c(c＞0)⇔__________.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号．形如|x－a|＋|x－b|≥c(a≠b)与|x－a|＋|x－b|≤c(a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种：①运用绝对值的几何意义；②零点分区间讨论法；③构造分段函数，结合函数图象求解．3．定理：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当______时，等号成立．其中不等式|a＋b|＜|a|＋|b|称为三角绝对值不等式．定理：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当__________时，等号成立．重要绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤________.使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件，即|a＋b|＝|a|＋|b|⇔ab≥0；|a－b|＝|a|＋|b|⇔ab≤0；|a|－|b|＝|a＋b|⇔b(a＋b)≤0；|a|－|b|＝|a－b|⇔b(a－b)≥0；注：|a|－|b|＝|a＋b|⇔|a|＝|a＋b|＋|b|⇔|(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|⇔b(a＋b)≤0.同理可得|a|－|b|＝|a－b|⇔b(a－b)≥0.4．定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当______时，等号成立．基本不等式：如果a，b＞0，那么__________，当且仅当a＝b时等号成立．三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c＞0，那么____________，当且仅当a＝b＝c时等号成立．基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即≥，当且仅当__________时等号成立．5．(1)不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．(2)柯西不等式二元柯西不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，a，b，c，d∈R，等号当且仅当__________时成立．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．类似地，从空间向量的几何背景也能得到|α·β|≤|α||β|.将空间向量的坐标代入，可得到三元柯西不等式：(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当α，β共线时，即β＝0，或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．一般形式的柯西不等式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．6．数学归纳法是重要的数学思想方法，数学归纳法常用来证明一些与自然数有关的命题．数学归纳法的核心是首先验证命题n＝n0正确，然后在归纳假设的基础上，完成由n＝k1到n＝k＋1的归纳证明，难点在于应用归纳假设完成归纳证明，还要注意数学归纳法的书写格式．1．求不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集．2．(2012江苏南京三模)解不等式：|x－1|＞.3．设a，b为不相等的两个正数，且a3－b3＝a2－b2.求证：1＜a＋b＜.4．已知a，b，c为正数，且a2＋b2＋c2＝14，试求a＋2b＋3c的最大值．1．解绝对值不等式时易犯的错误是什么？提示：解绝对值不等式的关键是利用绝对值的概念或几何意义去掉绝对值符号，在求解过程中实施了非同解变形是常见的错误．2．利用“零点划分法”解绝对值不等式的一般步骤是什么？提示：(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n个根把数轴分为n＋1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式...
