课时作业空间向量及其运算一、选择题1.如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则(AB＋BC＋CD)化简的结果为()A．BFB．EHC．HGD．FG解析：(AB＋BC＋CD)＝(AC＋CD)＝AD＝·2HG＝HG.答案：C2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x、y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝1解析：如图，AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)．答案：C3．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ与μ的值分别为()A.，B．－，－C．5,2D．－5，－2解析：a∥b⇔.答案：A4.二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()A．2aB.aC．aD.a解析：∵AC⊥l，BD⊥l，∴〈AC，BD〉＝60°，且AC·BA＝0，AB·BD＝0，∴CD＝CA＋AB＋BD，∴|CD|＝＝＝2a.答案：A5．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE可表示为(用a，b、c表示)．()A.a＋b＋cB.a＋b－cC.a＋b＋cD.a－b＋c解析：如图，OE＝OA＋AD1＝OA＋×(AB＋AC)＝OA＋×(OB－OA＋OC－OA)＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.答案：A6．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，则EF·FC1＝()A．－2B．2C．－D.解析：如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.则EF·FC1＝[(c－a)＋b]·(b＋a)＝(－a＋b＋c)·(b＋a)＝－|a|2＋|b|2＝2.答案：B二、填空题7．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点______(填共面或不共面)．解析：AB＝(3,4,5)，AC＝(1,2,2)，AD＝(9,14,16)，设AD＝xAB＋yAC.即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，∴从而A、B、C、D四点共面．答案：共面8．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则AB与CA的夹角θ的大小是________．解析：AB＝(－2，－1,3)，CA＝(－1,3，－2)，∴|AB|＝，|CA|＝，AB·CA＝－7.∴cosθ＝＝－，∴θ＝120°.答案：120°9．已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且|a|＝5，|b|＝6，a·b＝30，则＝________.解析：∵|a|＝5，|b|＝6，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝30cos〈a，b〉＝30，∴cos〈a，b〉＝1，∴a＝λb(λ＞0)．从而25＝36λ2，λ＝，∴＝λ＝.答案：三、解答题10.(金榜预测)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，3AD＝DC＝3，AB＝2，E是DC上的点，且满足DE＝1，连结AE，将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置，使得∠D1AB＝60°，设AC与BE的交点为O.(1)试用基向量AB，AE，AD1表示向量OD1；2(2)求异面直线OD1与AE所成角的余弦值；(3)判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由．解：(1)∵AB∥CE，AB＝CE＝2，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为BE的中点．∴OD1＝AD1－AO＝AD1－(AB＋AE)＝AD1－AB－AE.(2)设异面直线OD1与AE所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈OD1，AE〉|＝||.∵OD1·AE＝(AD1－AB－AE)·AE＝AD·AE－AB·AE－|AE|2＝1××cos45°－×2××cos45°－×()2＝－1，|OD1|＝＝，∴cosθ＝||＝||＝.故异面直线OD1与AE所成角的余弦值为.(3)平面D1AE⊥平面ABCE.证明如下：取AE的中点M，则D1M＝AM－AD1＝AE－AD1，∴D1M·AE＝(AE－AD1)·AE＝|AE|2－AD1·AE＝×()2－1××cos45°＝0，∴D1M⊥AE，∴D1M⊥AE.∵D1M·AB＝(AE－AD1)·AB＝AE·AB－AD1·AB＝××2×cos45°－1×2×cos60°＝0，∴D1M⊥AB，∴D1M⊥AB.又AE∩AB＝A，AE、AB⊂平面ABCE，∴D1M⊥平面ABCE.∵D1M⊂平面D1AE，∴平面D1AE⊥平面ABCE.3
