（江苏专用）高考数学一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第34课 等差数列及其前n项和教师用书-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第34课等差数列及其前n项和[最新考纲]内容要求ABC等差数列√1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫作a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d＝____________.－2[依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2.]3．(2017·南京模拟)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝____________时，{an}的前n项和最大．8[由等差数列的性质可知，a7＋a8＋a9＝3a8，a7＋a10＝a8＋a9，故a8>0，a8＋a9<0，∴a9<0，即当n＝8时，{an}的前n项和最大．]4．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则1a9的值是________．20[法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d，所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.]5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数．16[由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{an}，则a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n.由an＝6n≤100，即n≤16＝16，则在100以内有16个能被6整除的数．]等差数列的基本运算(1)(2017·苏州模拟)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝____________.【导学号：62172185】(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝____________.(1)(2)10[(1) 公差为1，∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.(2)设等差数列{an}的公差为d，依题意解得∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.][规律方法]1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．[变式训练1](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是____________．(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.(1)2(2)－72[(1) Sn＝，∴＝，又－＝1，得－＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，得解得∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]等差数列的判定与证明已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)．2(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的通项公式an.【导学号：62172186】[解](1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N＋)，bn＝.所以n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－，所以数列{bn}是...