不等式证明的基本依据·例题例5-2-1求证：(1)若x≠1，则x4+6x2+1＞4x(x2+1)；(2)若a≠1，b≠1，则a2+b2+ab+3＞3(a+b)；(3)若a＜b≤0，则a3-b3＜ab2-a2b．解(1)采用比差法：(x4+6x2+1)-4x(x2+1)(作差)=x4-4x3+6x2-4x+1(变形)=(x-1)4＞0(判断正负)所以x4+6x2+1＞4x(x2+1)(2)(a2+b2+ab+3)-3(a+b)所以a2+b2+ab+3＞3(a+b)(3)(a3-b3)-(ab2-a2b)=(a3-ab2)+(a2b-b3)=a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a+b)2(a-b)而a＜b≤0，所以a-b＜0，(a+b)2＞0，所以用心爱心专心1注用比差法时，常把差变形为一个偶次方或几个偶次方的和的形式；有时把它变形为几个因式的积的形式，以便于判断其正负．例5-2-2若a＞0，b＞0，c＞0，求证：(1)a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b；解(1)由对称性，不妨设a≥b≥c，那么，由指数函数的性质，有三式分边相乘，得于是，所以a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b(2)不妨设a≥b≥c≥0，那么由指数函数的性质，有用心爱心专心2注不能随意使用“不妨设”。本例(1)、(2)中采用“不妨设”的合理性在于a，b，c的地位是平等的，即它们具有对称轮换性。例5-2-3求证：(2)因1＜x＜10，0＜lgx＜1。于是logx2-(lgx)2=lgx(2-lgx)＞0又由0＜lgx＜1，知lg(lgx)＜0，所以lgx2＞(lgx)2＞lg(lgx)(3)因1＜x＜10，故0＜lgx＜1，从而log2(lgx)＜0。又因为x+用心爱心专心3(2)、(3)中引入0和1参予比较。这是不等式证明中的常用手段。例5-2-4设a，b∈R，证明：解(1)对于a，b∈R，我们有不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|依题设|a|≠|b|，|a-b|≠0，|a+b|≠0，从而由上式可得注证含绝对值的不等工，关键在于合理地利用绝对值的概念及其和、差、积、商的性质。(2)原不等式等价于用心爱心专心4因为|a|＜1，|b|＜1，所以1+a＞0，1+b＞0，a-1＜0，1-b＞0又|ab|=|a|·|b|＜1，故1+ab＞0。于是，最后不等式成立，从而原不等式成立。例5-2-5证明：(1)若a＞0，m，n∈N，且m＞n，则(2)若a＞0，b＞0，n∈N，且n≠1，则当且仅当a=b时取“=”；(3)对于n∈N，若α＞-1，则(1+α)n≥1+nα。解(1)原不等式可等价地变为用心爱心专心5二式分边相加，得两边n次乘方并化简，即得注用均值不等式证题，常常需要按均值不等式的结构把所要证明的不等式适当变形，如拆项、凑项或补凑因子等。(1)中是直接拆项兼凑项，特殊角色“1”起了重要作用。(2)中采用的是局部入手，整体结合等式是二元的一般幂平均不等式，应用较为广泛。(3)先引进一个简单不等式：设f(n)为定义在自然数集N上的函数。易知，若f(n)-f(n-1)≥0(或≤0)对任意大于1的自然数n都成立，则有f(n)≥f(1)(或f(n)≤f(1))。用心爱心专心6又当n=1时，原不等式成为等式，故对一切n∈N，都有(1+α)n≥1+nα注(3)中的不等式一般是利用二项式定理或数学归纳法证明。这里引进一个简单不等式给出的简捷证法，别有风味。读者不妨仿此证明(2)中的不等式。例5-2-6已知a＞0，b＞0，求证：对任意r，s∈R+，若r＞s，则ar+br≥ar-sbs+asbr-s当且仅当a=b时取等号。解因为a，b，r，s∈R+，且r-s＞0，所以由幂函数的单调性可知，as-bs与ar-s-br-s当a＞b时同为正数；当a＜b时同为负数；当a=b时同为零。故总有(as-bs)(ar-s-br-s)≥0。于是(ar+br)-(ar-sbs+asbr-s)=(ar-ar-sbs)-(asbr-s-br)=ar-s(as-bs)-br-s(as-bs)=(as-bs)(ar-s-br-s)≥0所以ar+br≥ar-sbs+asbr-s当且仅当a=b时取等号。注本例给出的不等式概括了很多不等式，应用较为广泛。例如不用心爱心专心7我们姑且称它为幂分拆不等式。用心爱心专心8
