高中数学 第三章 变化率与导数 3.2.1-3.2.2 导数的概念 导数的几何意义作业1 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

3.2.1-3.2.2导数的概念导数的几何意义[基础达标]1.若f(x)在x＝x0处存在导数，则lim()A．与x0，h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0，h都无关解析：选B.f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，而与h无关．2.在曲线y＝x2上点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为()A.B.C.D.解析：选B.设切点P的坐标为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝lim＝lim(2x0＋Δx)＝2x0，∴2x0＝tan＝1，x0＝，y0＝，∴切点P(，)．3.已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为()A．3，3B．3，－1C．－1，3D．－1，－1解析：选B.f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1.4.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：选A.∵lim＝lim＝a，∴f′(1)＝a，又f′(1)＝2，∴a＝2.5.曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为()A．(1，0)B．(1，0)或(－1，－4)C．(2，8)D．(2，8)或(－1，－4)解析：选B.设P0(x0，y0)，＝＝＝＝3x＋1＋3x0Δx＋(Δx)2，f′(x0)＝lim＝3x＋1，∴3x＋1＝4，x＝1，x0＝±1，当x0＝1时，y0＝0，x0＝－1时，y0＝－4，∴P0为(1，0)或(－1，－4)．6.函数f(x)＝x－在x＝1处的导数为________．解析：Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，＝＝1＋，∴lim＝lim＝2，从而f′(1)＝2.答案：27.过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线方程是________．解析：f′(1)＝lim＝2，∴过点P(－1，2)且与切线平行的直线方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4.答案：y＝2x＋48.过点(3，5)且与曲线f(x)＝x2相切的直线的方程为________．解析：∵当x＝3时，f(3)＝32＝9，∴点(3，5)不在曲线y＝x2上，设切点为A(x0，y0)，即A(x0，x)，则在点A处的切线斜率k＝f′(x0)．∵＝＝2x0＋Δx，当Δx→0时，2x0＋Δx→2x0，∴k＝f′(x0)＝2x0，∴在点A处的切线方程为y－x＝2x0(x－x0)，即2x0x－y－x＝0，又∵点(3，5)在切线上，∴6x0－5－x＝0，即x－6x0＋5＝0，∴x0＝1或x0＝5，∴切点为(1，1)或(5，25)，∴切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.答案：2x－y－1＝0或10x－y－25＝019.利用导数的定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．解：因为＝＝＝＝，所以f′(1)＝lim＝lim＝－.10.求曲线f(x)＝－在点P处的切线方程．解：f′(4)＝lim＝lim＝lim＝lim＝－.故所求切线的斜率为－，所求切线方程为y＋＝－(x－4)，即5x＋16y＋8＝0.[能力提升]1.已知函数f(x)在x＝1处的导数为1，则lim＝()A．3B．－C.D．－解析：选B.f′(1)＝1，lim＝lim＝lim＋lim＝－lim－lim＝－f′(1)－f′(1)＝－f′(1)＝－.2.函数y＝在x＝1处的导数为________．解析：作出函数y＝的图像如图．由导数的几何意义可知，函数y＝在x＝1处的导数即为半圆在点P(1,)处的切线的斜率．∴kl＝－＝－＝－.答案：－3.设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．解：f′(x)＝a－，由题设知，f′(1)＝a－＝，解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去)，将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.4．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则f′(x0)＝lim＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为(，)，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.2