第2章261知能优化训练VIP免费

1．已知曲线C：xy＋3x＋ky＋2＝0，则当k＝________时，曲线C经过点(2，－1)．解析：由题意，得2×(－1)＋3×2＋k×(－1)＋2＝0，∴k＝6.答案：62．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．解析：由得若或或故方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是四个点(±2，±2)．答案：四个点(±2，±2)3．方程4x2－y2＝0表示的曲线是________．解析：原方程可化为(2x＋y)(2x－y)＝0，即2x＋y＝0或2x－y＝0.所以表示的曲线是两条直线．答案：两条直线4．下列各组方程表示相同曲线的是________．①y＝x与y＝②y＝()2与y＝|x|③(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0④y＝与xy＝1解析：①y取值不同；②中x的取值不同；③中前者x＝1且y＝－2，后者x＝1或y＝－2.答案：④一、填空题1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)在________．解析：把点M(2,1)代入即可．答案：直线l和曲线C上2．“点M在曲线y2＝8x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的________条件．解析：由y2＝8x得y＝±2.答案：必要不充分3．方程lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线图形是________．解析：lg(x2＋y2－1)＝0⇒x2＋y2＝2(x>1)．答案：④4．以点(5,0)和点(0,5)为端点的线段的方程是________．答案：x＋y＝5(0≤x≤5)5．已知0≤α<2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值是________．解析：将P点坐标代入方程求解，(cosα－2)2＋sin2α＝3，∴cosα＝.∵0≤α≤2π，∴α＝或.答案：或6．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是________．解析：在方程x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中令y＝0，得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.答案：(4,0)和(－1,0)7．方程(3x－4y－12)[log2(x＋2y)－3]＝0的曲线经过点A(0，－3)、B(0,4)、C(4,0)、D中的有________个．答案：38．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是图中的________．解析：原方程可化为或或或故填④.答案：④二、解答题9．(1)判断点A(－4,3)、B(－3，－4)、C(，2)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点N在曲线C上，求m、n的值．解：(1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25，满足方程，且A点的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．把点B(－3，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，∵(－3)2＋(－4)2＝34≠25，∴点B不在方程所表示的曲线上．∵C点的横坐标不满足小于或等于0的条件，∴点C不在曲线x2＋y2＝25(x≤0)上．(2)∵M(m，)、N(，n)在曲线C上，∴它们的坐标都是方程的解．∴m2(m2－1)＝2×1，×＝n2(n2－1)．∴m＝±，n＝±或n＝±.10．求曲线y＝|x－2|－2与x轴所围成的三角形的面积．解：(1)当x－2≥0时，原方程可化为y＝x－4.(2)当x－2<0时，原方程可化为y＝－x，故原方程表示两条共顶点的射线，易得顶点为B(2，－2)，与x轴交于点O(0,0)，A(4,0)，它与x轴围成的三角形的面积为S△AOB＝|OA|·|yB|＝4.11．已知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，P也在曲线g(x，y)＝0上，求证：P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0上(λ∈R)．证明：∵P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，∴f(x0，y0)＝0.又∵P(x0，y0)也在曲线g(x，y)＝0上，∴g(x0，y0)＝0.∴对λ∈R，有f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ·0＝0，即P(x0，y0)适合方程f(x，y)＋λ·g(x，y)＝0.∴点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0上．(λ∈R)