课时训练15空间向量的数量积运算1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与的夹角为().A.60°B.90°C.135°D.45°答案:B解析:由于AB⊥平面BCC1B1,所以AB⊥C1B,从而与的夹角为90°.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:①()2=3;②·()=0;③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是().A.1B.2C.3D.0答案:B解析:①,②均正确;③不正确,因为与夹角为120°.3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为().A.a2B.a2C.a2D.a2答案:C解析:·()·(··)=a2.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面的中心,则AC1与CE的位置关系是().A.重合B.垂直C.平行D.无法确定答案:B解析:,().设正方体的边长为1,于是·=()·=0--0+0-0-+1-0-0=0,故,即AC1与CE垂直.5.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是().A.与B.与C.与D.与答案:A解析:可用排除法.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,·=0,排除D.又因为AD⊥AB,所以AD⊥PB,所以·=0,同理·=0,排除B,C,故选A.6.设A,B,C,D是空间中不共面的四点,且满足=0,=0,=0,则△BCD是().A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定答案:B1解析:·=()·()=···>0,同理,可证·>0,·>0.所以△BCD的每个内角均为锐角,故△BCD是锐角三角形.7.设向量a与b互相垂直,向量c与它们构成的角是60°,且|a|=5,|b|=3,|c|=8,则(a+3c)·(3b-2a)=.答案:-62解析:(a+3c)·(3b-2a)=3a·b-2|a|2+9b·c-6a·c=-62.8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,两两夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||=.答案:5解析:由于,∴||2=()2=||2+||2+||2+2(···)=12+22+32+2=25,故||=5.9.已知在空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OG⊥BC.证明:如图,连接ON,设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ,又设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|.∵()==(a+b+c),=c-b,∴·(a+b+c)·(c-b)2=(a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c)=(|a|2cosθ-|a|2cosθ-|a|2+|a|2)=0.∴OG⊥BC.10.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求<,>.(1)证明:设=a,=b,=c,正四面体的棱长为1,则(a+b+c),(b+c-5a),(a+c-5b),(a+b-5c),所以·(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)=(18×1×1×cos60°-9)=0,所以,即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO.所以AO,BO,CO两两垂直.(2)解:=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),所以||=.又||=,·(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=,所以cos<,>=.3又<,>∈[0,π],所以<,>=.4
