北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（文科）本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。考试时长120分钟。第I卷（选择题共40分）一、选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知复数，，若是纯虚数，则实数的值为（）1A.B.1C.2D.43.“”是“”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为，则在判断框中应填入关于的判断条件是（）A.B.C.D.5.已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）2A.B.C.D.6.已知有唯一的零点，则实数的值为（）A.-3B.-2C.-1D.07.如图，直线与圆及抛物线依次交于A、B、C、D四点，则（）A.13B.14C.15D.168.已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.3第II卷（非选择题共110分）二、填空题。（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.不等式组表示的平面区域的面积为__________。10.设平面向量，，若，则=__________。11.在等差数列中，，则__________。12.直线被圆截得的弦长为__________。13.已知，且，则的值为__________。14.已知数集具有性质P：对任意，其中，均有属于A，若，则__________。4三、解答题。（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.（本小题共13分）设数列的前项和为，且。（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足，求数列的通项公式。16.（本小题共13分）在△ABC中，分别是角的对边，满足，且。（I）求C的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的值。17.（本小题共14分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起，使A点移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上。5（I）求证：BC⊥；（II）求证：平面⊥平面；（III）若AB=10，BC=6，求三棱锥的体积。18.（本小题共13分）设，已知函数。（I）当时，求函数的单调区间；（II）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围。19.（本小题共13分）已知椭圆的左焦点为，过点M（-3，0）作一条斜率大于0的直线与W交于不同的两点A、B，延长BF交W于点C。（I）求椭圆W的离心率；（II）求证：点A与点C关于轴对称。620.（本小题共14分）已知定义在上的函数（I）求证：存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（II）若，且对任意的1恒成立，求的最大值。7参考答案：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.A2.D3.A4.B5.D6.C7.B8.A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.110.511.12.13.14.30三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（共13分）解：（I）因为，则，所以当时，，整理得，由，令，得，解得。8所以是首项为1，公比为2的等比数列，可得（6分）（II）因为，由，得，由累加得，当时也满足，所以。（13分）16.（共13分）解：（I）由，得，又，所以由正弦定理得。因为，所以，从而，即。（6分）（II）由余弦定理，得，又，所以，于是。当时，取得最大值（13分）17.（共14分）9解：（I）因为在平面上的射影O在CD上，所以⊥平面BCD。又BC平面BCD，所以BC⊥。又BC⊥CO，CO，平面，平面，所以BC⊥平面。又平面，所以。（5分）（II）因为矩形ABCD，所以⊥。由（I）知BC⊥。又平面，所以。又，所以平面。（10分）（III）因为，10所以。因为CD=10，，所以。所以。（14分）18.（共13分）解：（I）当时，，则，由，得，或，由，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（0，2）。（6分）（II）依题意，对，，这等价于，不等式对恒成立。令，则，所以在区间上是减函数，所以的最小值为。11所以，即实数的取值范围为。（13分）19.（共13分）解：（I）由题意，解得。所以椭圆。离心率。（5分）（II）设直线的方程为。联立得。由直线与椭圆W交于A、B两点，可知△，解得。设点A，B的坐标分别为（），，则，，。12因为F（-2，0），设点A关于轴的对称点为C′，则C′（），所以，。又因为，所以B，F，C′共线，从而C与C′重合，故点A与点C关于轴对称。（13分）20.（共14分）解：（I）由，可得，...
