北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷(文科)本试卷分第I卷和第II卷两部分,共150分。考试时长120分钟。第I卷(选择题共40分)一、选择题。(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.已知集合,,则()A.B.C.D.2.已知复数,,若是纯虚数,则实数的值为()1A.B.1C.2D.43.“”是“”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为,则在判断框中应填入关于的判断条件是()A.B.C.D.5.已知一个棱锥的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个棱锥的侧面积是()2A.B.C.D.6.已知有唯一的零点,则实数的值为()A.-3B.-2C.-1D.07.如图,直线与圆及抛物线依次交于A、B、C、D四点,则()A.13B.14C.15D.168.已知不等式在上恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.3第II卷(非选择题共110分)二、填空题。(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.不等式组表示的平面区域的面积为__________。10.设平面向量,,若,则=__________。11.在等差数列中,,则__________。12.直线被圆截得的弦长为__________。13.已知,且,则的值为__________。14.已知数集具有性质P:对任意,其中,均有属于A,若,则__________。4三、解答题。(本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.(本小题共13分)设数列的前项和为,且。(I)求数列的通项公式;(II)若数列满足,求数列的通项公式。16.(本小题共13分)在△ABC中,分别是角的对边,满足,且。(I)求C的大小;(II)求的最大值,并求取得最大值时角A,B的值。17.(本小题共14分)如图,将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起,使A点移到点,且在平面BCD上的射影O恰好在CD上。5(I)求证:BC⊥;(II)求证:平面⊥平面;(III)若AB=10,BC=6,求三棱锥的体积。18.(本小题共13分)设,已知函数。(I)当时,求函数的单调区间;(II)若对任意的,有恒成立,求实数的取值范围。19.(本小题共13分)已知椭圆的左焦点为,过点M(-3,0)作一条斜率大于0的直线与W交于不同的两点A、B,延长BF交W于点C。(I)求椭圆W的离心率;(II)求证:点A与点C关于轴对称。620.(本小题共14分)已知定义在上的函数(I)求证:存在唯一的零点,且零点属于(3,4);(II)若,且对任意的1恒成立,求的最大值。7参考答案:一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.A2.D3.A4.B5.D6.C7.B8.A二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.110.511.12.13.14.30三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(共13分)解:(I)因为,则,所以当时,,整理得,由,令,得,解得。8所以是首项为1,公比为2的等比数列,可得(6分)(II)因为,由,得,由累加得,当时也满足,所以。(13分)16.(共13分)解:(I)由,得,又,所以由正弦定理得。因为,所以,从而,即。(6分)(II)由余弦定理,得,又,所以,于是。当时,取得最大值(13分)17.(共14分)9解:(I)因为在平面上的射影O在CD上,所以⊥平面BCD。又BC平面BCD,所以BC⊥。又BC⊥CO,CO,平面,平面,所以BC⊥平面。又平面,所以。(5分)(II)因为矩形ABCD,所以⊥。由(I)知BC⊥。又平面,所以。又,所以平面。(10分)(III)因为,10所以。因为CD=10,,所以。所以。(14分)18.(共13分)解:(I)当时,,则,由,得,或,由,得,所以的单调递增区间为,单调递减区间为(0,2)。(6分)(II)依题意,对,,这等价于,不等式对恒成立。令,则,所以在区间上是减函数,所以的最小值为。11所以,即实数的取值范围为。(13分)19.(共13分)解:(I)由题意,解得。所以椭圆。离心率。(5分)(II)设直线的方程为。联立得。由直线与椭圆W交于A、B两点,可知△,解得。设点A,B的坐标分别为(),,则,,。12因为F(-2,0),设点A关于轴的对称点为C′,则C′(),所以,。又因为,所以B,F,C′共线,从而C与C′重合,故点A与点C关于轴对称。(13分)20.(共14分)解:(I)由,可得,...