第2章262知能优化训练VIP免费

1．(2011年高考广东卷改编)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为________．解析：设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大于1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．答案：抛物线2．已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x＝－1的距离的2倍，则点M的轨迹方程为________．解析：设M(x，y)，由题意，得＝2|x＋1|.化简，得－3x2－12x＋y2＝0.答案：y2＝3x2＋12x3．已知动抛物线以y轴为准线，且过点(1,0)，则抛物线焦点的轨迹方程为________．解析：设焦点坐标为(x，y)，则＝|x|，即y2＝2x－1.答案：y2＝2x－14．设A、B两点的坐标分别是(2,0)、(－2,0)，若kMA·kMB＝－1，则动点M的轨迹方程是________．解析：设M的坐标为(x，y)， kMA·kMB＝－1，∴·＝－1，即x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：x2＋y2＝4(x≠±2)一、填空题1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是________．解析：由图知PF1＋PF2＝2a.连结MO，则F1M＋MO＝a(a>F1O)．故M的轨迹是以F1、O为焦点的椭圆．答案：椭圆2．已知两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是________．解析：|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>|F1F2|，根据定义可知动点P的轨迹是椭圆．答案：椭圆3．设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是________．解析：设Q(x，y)，P(1，y0)，由OQ·OP＝0知y0y＝－x.①又OQ＝OP，∴＝，即x2＋y2＝1＋y.②由①②消去y0，得点Q的轨迹方程为y＝1或y＝－1.答案：两条平行线4．设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是____________．解析：设M(x，y)，点P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y. －y＝1，∴x2－4y2＝1.答案：x2－4y2＝15．如图所示，AB是平面α的斜线段，A为斜足．若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是________．解析：点P到AB的距离为定值，即点P在空间中的轨迹为圆柱，α截圆柱为椭圆，故点P的轨迹为椭圆．答案：椭圆6．点P(a，b)是单位圆上的动点，则点Q(a＋b，ab)的轨迹方程是________．解析：设Q(x，y)，则 a2＋b2＝1，即(a＋b)2－2ab＝1，∴x2－2y＝1.∴点Q的轨迹方程是x2－2y－1＝0.答案：x2－2y－1＝07．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．解析：设P(x，y)，由已知O(0,0)，r＝，O′(4,0)，r′＝.∴PO2－r2＝PO′2－r2，即x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，整理得x＝.答案：x＝8．当θ取一切实数时，连结A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ，6sinθ)两点的线段的中点轨迹是________．解析：设A、B线段中点的坐标为(x，y)，则∴2＋2＝2，即＋＝1.答案：＋＝1二、解答题9．如图，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．解：设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，因为点P是线段QN的中点，所以N点的坐标为(2x－x0,2y－y0)．又点N在直线x＋y＝2上，所以2x－x0＋2y－y0＝2，即x0＋y0＝2x＋2y－2.①又QN⊥l，kQN＝＝1，即x0－y0＝x－y.②由①②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2)．又因为点Q在双曲线上，所以(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.化简，得(x－)2－(y－)2＝.所以线段QN的中点P的轨迹方程为(x－)2－(y－)2＝.10．如图所示，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变．(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程；(2)设点K是曲线E上的一个动点，求线段KA的中点的轨迹方程．解：(1)如图所示，以AB所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系．设P(x，y)，因为|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝4为定值，所以动点P的轨迹为椭圆，且a＝2，c＝1，b＝.所以曲线E的方程为＋＝1.(2)设曲线E上的动...